复合函数定义域问题

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1、实用文档第一讲复合函数的定义域一、复合函数的构成设是到的函数，是到上的函数，且，当取遍中的元素时，取遍，那么就是到上的函数。此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数。说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数中的取值范围。⑵称为直接变量，称为中间变量，的取值范围即为的值域。⑶与表示不同的复合函数。例1．设函数，求．⑷若的定义域为，则复合函数中，．注意：的值域．例2：⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．要点1：解决复合函数问题，一般先

2、将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：标准文案实用文档⑴　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵　函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．要点2：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。⑶　函

3、数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数标准文案实用文档复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例3：已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，　　当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。标准

4、文案实用文档②　已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知复合函数直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域,即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域，也应以的值域做为所求的定义域，因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数的外函数，如果外函数的定义域不等于内函数的值域，那么就确定不了的最值或值域。例4：已知函数,求的值域。分析：令，；则有，复合函数是由与复合而

5、成，而，的值域即的值域，但的本身定义域为,其值域则不等于复合函数的值域了。例5：已知函数，求函数的解析式，定义域及奇偶性。标准文案实用文档分析：因为定义域为{或}令，；则，且所以，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数。然而只就解析式而言，定义域是关于原点对称的，且，所以是奇函数。就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数，的值域，而不是外函数其解析式本身决定的定义域了。2．求有关复合函数的解析式，例6．①已知求；②已知，求．例7．①已知，求；②已知，求．要点3：已知求复合函数的解析式，直接把中的换成即可。已

6、知求的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到标准文案实用文档，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。例8．①已知是一次函数，满足，求；②已知，求．要点4：⑴当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量，如、等，必须根据已知等式

7、再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出。二、练习：１．已知，求和．解：令，设，令，设，．２．已知，求．分析：是用替换中的而得到的，问题是用中的替换呢，还是用标准文案实用文档替换呢？所以要按、分类；注：是用替换中的而得到的，问题是用替换中的呢，还是替换呢？所以要看还是，故按、分类。Key:；注：。三、总结：１．复合函数的构成；设函数，，则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数。其中被称为直接变量，被称为中间变量。复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量的取值范围，即是的值域，是外函

8、数的定义域。２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法：⑴定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由解）；求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围（由求的值域）。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。⑵标准文案实用文档解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法．四：外函数