概率及概率空间

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1、1概率及概率空间22.1概率的定义1.频率3概率的性质2概率的定义3定义：随机事件:在一定条件下，对随机现象进行一次实验的每一个可能结果；必然事件:在一定条件下必然要发生的事件，记作；不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件，记作。基本事件:在随机实验中，不能分解的事件；随机事件P&S我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现．返回主目录1.概率的概念410包含关系事件间的关系与运算20事件的并30事件的交50互不相容事件60逆事件SABP&S返回主目录5SABP&S20事件的并30事件的交SAB返回主目

2、录6SBSAP&S40互不相容事件50逆事件A返回主目录7随机事件的运算规律交换律:P&S结合律:分配律:反演律（DeMorgan定律）:返回主目录82.1.1频率1.随机事件的发生可能性有大小之分投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更容易出现。2.频率的定义定义如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即fn(A)＝频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。9大量次的观察，发现事件

3、发生的频率具有稳定性。3.频率具有稳定性例1抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。实验者NnHfn(H)蒲丰404020480.5070K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005。n无穷大m/n稳定值10频率稳定值概率事件发生的频繁程度事件发生的可能性的大小频率的性质概率的定义P&S返回主目录114.频率的性质(1)0≤fn(A)≤1;(2)fn(Ω)=1；(3)若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则1.1.2概率的定义简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数值），称

4、为A发生的概率，记作P(A)．121.概率的一般（公理化）定义定义设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概率，若P(A)满足下列三个条件：(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1；(3)对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列可加性。利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。13性质1因为由可列可加性故性质2若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则由可列可加性有2.概率的性质14则P(B－A)=P(B)－P(A).ＡΩ

5、Ｂ证明由于B=A∪(B－A)且A.(B－A)=Φ,P(B)=P(A)+P(B－A),于是P(B－A)=P(B)－P(A).推论1Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).推论2若AB,则P(B)≥P(A).性质3设A，B是两事件，若AB,ABΩ15性质4对于任一事件A，有因则有于是有16性质5设任意两个事件A、B，则P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)证明由右图可知AB=A(B-AB)且由概率可加性及性质３得P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB）A(B-AB)=Φ，ABBＡＢ推论1.P

6、(A∪B)≤P(A)+P(B).推论2.设随机事件A1,A2,A3,则Ａ1A2A317推论3设A1，A2，…，An是n个随机事件，则18例1设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,P（A），P（B），P（）解（1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以P（AB）=p+q-r．（2）因为A=A-AB且ABA，故P（A同理可求出P（（3）因=，所以．191.适用的范围广；2.提供了估算概率的方法；3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。概率统计定义的优点：1.要确定某事件的概率，就必须进行大量

7、实验，这在实际中难以办到；2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率的稳定值。返回主目录古典概型概率统计定义的不足：20当涉及随机变量时，我们必须首先定义概率空间；也就是说，我们需要设定一个框架来对偶然性和相应概率进行定义而不用担心一致性问题。概率的定义具有一致性，具有两个条件：（1）（2）概率的一致性问题返回主目录古典概型21在实际工作中，我们会经常考察有条件的随机事件，即在一些信息已知的情况下，某一随机现象的变化。例如，央行加息后股票价格或债券价格的涨落情况、国家的税收政策发生变化后投资回报将如何变动等等，都是典型的条

8、件随机现象，这就是我们在此拟要考察的条件事件和条件概率问题。在后面有关鞅的定义和讨论中，人们会看到条件概率和条件期望更多的作用。条件概率22在初等概率论中，我们已经学过，当事件B发生时事件A的概率为P(A/B)=P(A·B)/P(B),P(B)>0简称事件B关于