《参数方程》PPT课件

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1、第十五章选考部分第三节参数方程第二讲坐标系与参数方程课前自主学案知识梳理1.参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程（*）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.3．椭圆的参数方程4．双曲线的参数方程5．抛物线的参数方程6．直线的参数方程直线参数方程

2、的几种形式（1）标准式直线经过点M0(x0，y0），倾斜角为θ的直线的参数方程为其中，t是直线上的定点M0（x0，y0）到动点M（x，y）的有向线段的数量，即，当点（x，y）在点（x0，y0）的上方时，t＞0；当点（x，y）在点（x0，y0）的下方时，t＜0，当点（x，y）与点（x0，y0）重合时，t=0，以上反之亦然.于是参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离.由于直线的标准参数方程中t具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多.其中（x0，y0）表示该直线上的一点，b/a表示直线的斜率.当a，b分别表示点M

3、（x，y）在x方向与y方向的分速度时，t就具有物理意义——时间，相应的at，bt则表示点M（x，y），则在x方向、y方向上相对（x0，y0）的位移．7.渐开线与摆线的参数方程（1）渐开线的参数方程其中r为基圆的半径，φ为过切点的半径与x轴正方向所成的角。其中r为圆的半径，φ为定点作圆周运动时所转过的角。8．参数方程和普通方程的互化（1）由参数方程化为普通方程——消去参数.消参数常用的方法有代入法，加减（或乘除）消元法，三角代换法等.消参时应特别注意参数的取值范围对x，y的限制.由参数方程化为普通方程一般是唯一的.（2）由普通方程化为参数方程——选参数，参数选法多种多样，所以由普通

4、方程化为参数方程是不唯一的.基础自测1.（2009年天津卷）设直线l1的参数方程为直线l2的方程为y=3x+4,则l1与l2间的距离为_________答案：答案：-1答案：答案：课堂互动探究将参数方程化为普通方程（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=π/2,Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：距离的最小值.（2009年宁夏海南卷）已知曲线C1:解析：变式探究1.（2009年南通模拟）已知直线和圆C：解析：圆的方程可化为故直线l与圆C的公共点个数为2将普通方程化为参数方程设x=3cosφ，以φ为参数，求椭圆的参数

5、方程.分析：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系.解析：点评：将普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同一个普通方程，当选择的参数不同时，得到的参数方程也不同.解析：将y=2pt代入y2=2px得2.设y=2pt，t是参数，则抛物线：y2=2px（p>0）的参数方程是______变式探究求曲线的参数方程如图所示，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点.当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程.分析：取∠xOP=θ为参数，则圆O的参数方程是当θ变化时，动点P在定圆O上运

6、动，线段PQ也随之变动，从而使点M运动.所以，点M的运动可以看成是由角θ决定的.于是，选θ为参数是合适的.解析：设点M的坐标是(x，y)，∠xOP=θ，则点P的坐标是(2cosθ，2sinθ).由中点坐标公式可得所以，点M的轨迹的参数方程是点评：如何恰当地选择参数，成为解决这类问题的关键.变式探究如图所示，经过抛物线y2=2px(p＞0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率为参数，求线段AB的中点M的轨迹的参数方程.解析：曲线参数方程的应用在椭圆上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.分析：直接用直角坐标，则点M(x，y)到

7、直线x+2y-10=0的距离的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转化为一个变量，但是表达式比较复杂。因此，考虑用椭圆的参数方程求解.点评：本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子，可以感受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用.利用参数方程，一方面椭圆上的点的坐标只含有一个参变量，距离表达式得到简化；另一方面，可以用上三角变换，从而拓广了解决问题的途径.变式探究4.已知x0>0,y0>0,a>b>0,点P（x0,y0）在椭圆设点A、B