矩阵特征值计算1

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1、数值分析李小林重庆师范大学数学学院NumericalAnalysis第八章矩阵特征值计算/*ComputationalMethodofEigenvalueProblem*/本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定，及一些稳定性分析和相关分析。§1特征值性质和估计由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中，所以D1内恰包含A的一个实特征值由于D1是

2、孤立的所以，问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么范围？解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围.事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆盘半径及连通性发生变化.具体实施?对上边同一例题§2幂法与反幂法/*PowerMethodandReversedPowerMethod*/幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。一、幂法计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量假设：(1)

3、1

4、>

5、2

6、…

7、n

8、0(2)对应的n

9、个线性无关特征向量为：x1,x2,...,xn设越小，收敛越快当k充分大时，有又(j=1,2,...,n)vk为1的近似特征向量定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由幂法生成的向量满足注：幂法的收敛速度取决于的大小幂法中存在的问题改进方法：规范化1的计算定理：设A有n个线性无关的特征向量，其特征值满足则由改进的幂法生成的向量满足改进的幂法(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算幂法迭代算法：fork=0,1,2,3,…if输出和解：Step0

10、例1：利用幂法求下列矩阵的模最大的特征值及相应的特征向量.(取初始向量为)Step1Step2Step3特征值及相应的特征向量精确值为:两种特殊情况幂法的加速幂法的收敛速度取决于的大小当r接近于1时，乘幂法收敛会很慢！令B=A–pI，则B的特征值为：i-p选择适当的p满足：(1)(j=2,...,n)(2)用幂法计算矩阵B的主特征值：1-p保持主特征值加快收敛速度幂法的加速：原点平移法带位移的幂法Rayleigh商加速(1)任取一个非零向量v0，要求满足(x1,v0)0(2)对k=1,2,...，直到收敛，计算

11、二、反幂法反幂法是求一个矩阵的模最小的特征值和对应的特征向量的一种迭代方法（又称为反迭代法）。设，则对应用幂法就可以求得矩阵的模最小的特征值和相应的特征向量。不妨假设的特征值为则的特征值为反幂法算法：fork=0,1,2,3,…if输出和若和均收敛，由幂法知收敛速度取决于的大小反幂法每次迭代都需要求解方程组反幂法的加速当r接近于1时，反乘幂法收敛会很慢！反幂法的收敛速度取决于的大小可以使用原点平移法对反幂法进行加速问题：如何选择参数p？离n越近越好（但不能相等）带位移的反幂法：实际应用中，反幂法主要用于求特征向

12、量。且用某种方法已经得到的特征值的近似值对矩阵采用反幂法迭代格式为：记假设的特征值满足fork=0,1,2,3,…因为方程组的系数矩阵Doolittle分解化为两个三角方是固定的，通常采用(选主元)程组求解，从而减少工作量。求解方程组化为：带位移的反幂法迭代格式：fork=0,1,2,3,…收敛速度取决于的大小当时，收敛速度会非常快设矩阵存在Doolittle分解：解：例4：用带位移的反幂法求矩阵）的近似特征向量。对应特征值（精确值为其中Step0反幂法具有一次“迭代性”Step1所求近似特征向量为：带位移的反幂法可

13、以用于计算任何一个特征值k将参数p取为k附近若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法令p足够靠近k§3Jacobi方法Jacobi法：计算实对称矩阵全部特征值和相应特征向量基本思想:通过一次正交变换，将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。基于以下两个结论:矩阵的旋转变换Jacobi方法§4Householder变换本节讨论下面两个问题：(1)用初等反射阵作正交相

14、似变换约化一般实矩阵A为上Hessenberg阵。(2)用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A为对称三对角阵。于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。Def:称下述形状的矩阵为上Hessenberg矩阵Def:若上Hessenberg矩阵的次对角元素均不为零，则称之为不可约的上Hessenber