矩阵的特征值与特征向量3

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1、第四章矩阵的特征值§4.1矩阵的特征值与特征向量(一)矩阵的特征值定义4.1设为n阶矩阵,如果存在数和维非零列向量使得（4.1）则称为A的一个特征值,非零向量称为A的属于特征值的特征向量.将(4.1)改写为(4.2)这说明是n元齐次线性方程组的非零解.(4.3)定义4.2设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵称为A的特征矩阵，其行列式为的n次多项式，称为A的特征多项式，称为A的特征方程.此方程组有非零解的充分必要条件为其系数行列式为零，即是矩阵A的一个特征值，则一定是的根，因此又称为A的特征根.若是的重根，则称为A的重特征值(根).方程组的每一个非零向量，均是属

2、于的特征向量.求n阶矩阵特征值和特征向量的步骤:(1)解A的特征方程，求出A的n个特征值(其中可能有重根)(2)对每一个特征值求解齐次线性方程组，得到方程组的基础解系，则A的对应于的全部特征向量为(为不全为零的任意常数)例1求矩阵的特征值与特征向量.例2求矩阵的特征值与特征向量.例3求矩阵的特征值与特征向量.例4求矩阵的特征值与特征向量.例1例5设是n阶矩阵A的一个特征值，证明：(1)是的一个特征值.(2)对任意数k,是矩阵kI-A的一个特征值.(3)若A可逆，则是一个特征值，其中是A的伴随矩阵.n阶矩阵A是奇异矩阵的充要条件是A有一个特征值为零.例6即：

3、n阶矩阵A可逆的充要条件是A的任一特征值不为零.二、特征值和特征向量的性质定理4.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.定理4.2方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为证明①当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令即设n阶方阵　　　　的特征值为则②因为行列式它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中例7设矩阵已知A特征值，求x的值和A的另与特征值.定理4.3设是n阶矩阵，如果或有一

4、个成立，则矩阵A的所有特征值的模小于1，即定理4.4n阶矩阵A的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.作业习题4P1981.(1)(2)(4)2.3.5.