矩阵的特征值和特征向量3

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1、作用初等变换终止矩阵结果秩阶梯阵r(A)=非0行数行变换极大无关组(基)阶梯阵主列对应原矩阵的列行变换行最简形非主列的线性表示关系解Ax=b(AX=B)(Ab)行变换阶梯阵判别解:r1

2、的相似对角化(1学时)初等变换相抵等价类的不变量矩阵的秩相抵标准形不变量§4.3方阵可相似对角化的条件(1学时)相似变换相似§4.2方阵的特征值和特征向量(1学时)一.特征值、特征向量的定义和计算§4.1相似矩阵(1学时)二.方阵与对角矩阵相似的充要条件一.相似矩阵的定义和性质二.特征值、特征向量的性质第四章矩阵的特征值和特征向量第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵相似的应用求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=PP1A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)1

3、1=100211=P11P1A与相似第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为A~B.P为相似变换矩阵.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.例1.证明矩阵与相似.证明：第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P1AP=B,则称矩阵A与B相似.记为A~B.P为相似变换矩阵.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,

4、反之不然.注2:反身性:A~A;对称性:A~BB~A;传递性:A~B,B~CA~C.矩阵间的相似关系是一种等价关系P1AP=BPBP1=A相抵关系下的不变量：矩阵的秩相似关系下的不变量：矩阵的秩第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使P1AP=B.注1:相似是相抵的特例:相似必相抵,反之不然.矩阵间的相似关系是一种等价关系相似关系下的不变量：矩阵的秩,注2:性质2:A~B,则

5、A

6、=

7、B

8、.

9、B

10、=

11、P1AP

12、=

13、P1

14、

15、A

16、

17、P

18、=

19、P1

20、

21、P

22、

23、

24、A

25、=

26、A

27、.定义2:矩阵的迹(trace):tr(A+B)=tr(A)+tr(B)tr(kA)=ktr(A)tr(AB)=tr(BA)性质3:A~B,则tr(A)=tr(B).行列式,迹=tr(P1AP)=tr(APP1)性质4:设A~B,f是一个多项式,则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1P1AP+a0P1EP=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E=P1(anAn+…+a1A+a0E)P=anBn+…+a1

28、B+a0E=f(B).第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理4.1.n阶方阵A与对角矩阵相似n个线性无关的向量1,2,…,n和n个数1,2,…,n满足Ai=ii,i=1,2,…,n.若令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),则P–1AP=.证明:设P–1AP==diag(1,2,…,n),AP=Pdiag(1,2,…,n),即A(1,2,…,n)=(11,22,…,nn),Ai=ii,i=1

29、,2,…,n第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵P可逆,所以1,2,…,n线性无关.二.方阵与对角矩阵相似的充要条件定理4.1.n阶方阵A与对角矩阵相似n个线性无关的向量1,2,…,n和n个数1,2,…,n满足Ai=ii,i=1,2,…,n.若令P=(1,2,…,n),=diag(1,2,…,n),则P–1AP=.第四章矩阵的特征值和特征向量§4.1相似矩阵方阵A的相似对角化问题:求可逆阵P,使P–1AP=.其中，对角阵称为相似标准形.相似关系下的不变量：矩阵的秩,行

30、列式,迹相抵关系下的不变量：矩阵的秩相抵关系下的最简形：相抵标准形相似关系下的最简形：相似标准形1.定义=n阶方阵非零向量特征值(eigenvalue)特征向量(eigenvector)对应§4.2方阵的特征值和特征向量一.特征值、特征向量的定义和计算A