数学人教版九年级上册《中考聚焦：圆的有关计算与证明》

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1、《中考聚焦：圆的有关计算与证明》教学设计任课教师：薛芊【教学目标】1．知识目标：①结合模拟考试，梳理圆中的概念、性质和定理；②再次掌握垂径定理，圆周角、圆心角定理，圆切线的性质和判定，并会用来解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法，以及直角三角形、相似在解决圆问题中的作用。2．能力目标：①通过对圆类型题目的探究和归纳，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3．情感目标：①通过归纳，找到做题的突破口，树立自信，从而发现数学的美；②激发学生探究、发

2、现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用，圆周角、圆心角定理及其应用，圆切线的性质判定及其应用。【教学难点】在圆中构造直角三角形、在圆中利用相似解决问题。【教学方法】探究发现法。【教具准备】多媒体课件、三角板、圆规等。【教学设计】一、垂径定理及其推论命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．例1把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16厘米，则球的半径为________厘米．[解析]首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的

3、中点O，连结OF，设OF＝x，则OM＝16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.二、圆心角、弧、弦之间的关系命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．例2如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？说明理由．[解析](1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等

4、和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.三、圆周角定理及推论命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所

5、对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．例3如图，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝________°.[解析]连结OC，∵OA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠ADC＝∠AOC＝25°.四、圆的切线的性质命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．例4如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．(3)求AC.[解

6、析](1)连结OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行进行证明；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．(3)在圆与直角三角形同时出现求线段长度的时候，还要考虑通过证明特殊三角形相似来解决问题.解：(1)证明：连结OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2

7、＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.(3)由Rt△BOD∽Rt△BAC，得BO/AB=OD/AC,即AC=8×3/5=4.8五、圆的切线的判定方法命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2.利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．例5如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求PD的长．[解析](1)首

8、先连结OA，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，利用等边对等角求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；(2)由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．解：(1)证明：连结OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC,∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.