随机向量的数字特征

《随机向量的数字特征》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、随机向量的数字特征第二节1一、随机向量的数学期望(1)若(X,Y)是离散型随机变量，且其联合分布律为则(2)若(X,Y)是连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则21xy解例1设随机变量(X,Y)的联合概率密度为31xy解例1设随机变量(X,Y)的联合概率密度为4例2解易见X和Y的联合概率密度为11xyO5解易见X和Y的联合概率密度为11xyO例26二、随机变量的和与积的数学期望及方差性质2设X、Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y);性质1E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(诸Xi独立时)推广：注意：由E(X

2、Y)=E(X)E(Y)不能推出X,Y独立.7性质3设X和Y是两个相互独立的随机变量，则证而8当X和Y相互独立时，有所以推广：若X1,X2,…,Xn两两独立,则更一般地，性质3设X和Y是两个相互独立的随机变量，则证9注意：以下两个式子是等价的,例如,当X和Y相互独立时,有若X1,X2,…,Xn两两独立,则10例3一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).引入随机变量则有解由

3、题意,有11则有由题意，有所以由数学期望的性质，得12例4下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的数学期望和方差.设X~B(n,p)，X表示n重伯努利试验中的成功次数.设而X=X1+X2+…+Xn，i=1,2,…,n则所以Xi相互独立，13三、随机变量的相关系数和相关性为了研究随机向量的分量之间的相关程度，下面引进协方差和相关系数这两个概念.定义计算公式：covariance1.协方差的概念及其性质14定义计算公式：其中三、随机变量的相关系数和相关性15协方差的性质：(1)对称性：(2)线性性：(3)若X和Y相互独立，则因为

4、X和Y相互独立注意：反之未必成立.16(4)类似地有推广：因此，若X1,X2,…,Xn两两独立，则有17协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念.可以验证，2.相关系数的概念及其性质标准化随机变量消除了量纲的影响.18可以验证，19定义计算公式：20例5设(X,Y)的联合分布律为解先求出边缘分布，2122例6设(X,Y)的联合密度函数为解先求出边缘密度，均匀分布23类似地，2425注：实际上,本题不必求边缘密度,可以直接用以下公

5、式计算E(X)、E(Y)等.实际上,第一种方法限定了求积分的次序,有时不方便.26性质1证性质2证相关系数的性质：27性质2证28例7解29相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).

6、

7、的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;

8、

9、的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.3.随机变量的线性相关性30定义下列事实彼此等价：定理若X与Y相互独立，则X与Y不相关.注意：逆命题不成立,即X与Y不相关时,不一定独立.31例8设(X,Y)的分布律为所以这表示X,Y不存在线性关系.但,知X,Y不独立.事实上,X,

10、Y具有非线性关系:32前面已经证明X和Y不是相互独立的.但X和Y不是相互独立的.解上的均匀分布，试验证X和Y是不相关的,例9设二维随机变量(X,Y)服从单位圆同理,(X,Y)的概率密度为利用对称性所以即X和Y不相关.33四、随机向量的协方差矩阵和相关矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.这是一个对称矩阵34类似定义n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.称矩阵都存在,若显然协方差矩阵是一个对称矩阵.可以证明：协方

11、差矩阵是一个半正定矩阵.35例10已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵为求随机向量(X+Y,X-Y)的协方差矩阵.解由题意知,所以(X+Y,X-Y)的协方差矩阵为36还可定义n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的相关矩阵.为(X1,X2,…,Xn)的相关矩阵.显然，相关矩阵也是对称的半正定矩阵.定义设(X1,X2,…,Xn)是n维随机向量,X与Y的称矩阵都存在相关系数37练习：P114习题三38