概率论与数理统计基础（概率和概率分布

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1、概率论与数理统计基础（一）概率和概率分布1一、随机事件和概率1、随机实验在相同条件下可以重复进行，有两种以上可能结果，但事先不能确定哪一种结果会发生的试验。如：抛一枚硬币、掷一颗骰子、从一副扑克牌里抽取一张。2、样本空间（又称“总体”）随机试验所有可能结果的集合叫样本空间。样本空间的每种可能结果称为样本点。如：抛两枚硬币，考察向上的一面，所有结果为“正正”、“正反”、“反反”、“反正”，样本空间有４个元素。2３、随机事件随机试验的某些结果组成的一个集合，也即样本空间的一个子集。单个样本点构成的子集称为基本事件。事件可用A、B、

2、C等字母来表示。例子：先后抛两枚硬币，观察朝上的一面。一、实验结果有哪些？正正、正反、反正、反反二、若令Ａ=“一枚正面朝上，一枚正面朝下”，那些结果对应于事件A？“正反”、“反正”三、若令Ｂ=“第一枚正面朝上，第二枚正面朝下”，那些结果对应事件Ｂ？“正反”3事件的关系及运算事件的包含样本空间AB4样本空间A=B5（3）事件的和“事件A与事件B至少有一个发生”、“事件A发生或者事件B发生”；记作或A+B6（4）事件的积“事件A与事件B同时发生”；“事件A发生并且（而且）事件B也发生”；记作7互斥事件样本空间AB8事件的差(事件

3、A发生而事件B不发生）AB样本空间9样本空间逆事件10必然事件、完备事件组样本空间不可能事件114、随机变量(RandomVariables)定义：把取值由实验结果决定的变量称为随机变量。如抛两枚硬币，“正面朝上的个数”为一随机变量。通俗地说，随机变量就是使每一个可能的试验结果对应一个数，就是说为每一个试验的结果赋予一个实数值。例如在抛硬币的试验中，出现正面时取值1，出现反面取值0。我们还要求知道随机变量取某个或某些值的的概率是多少，即要求随机变量是一个可测函数。引入随机变量旨在把实验结果数量化，便于描述和研究。12离散型随机

4、变量可取有限个数值，或无限可列个数值。比如：投掷两颗骰子，各有点数１至６，若令随机变量Ｘ表示“两颗骰子出现的点数之和”，则Ｘ的取值为2、3、4、5……10、11或12。连续型随机变量可取某一区间的任何值。比如：身高、体重、温度等。13５、概率的定义度量随机事件发生的可能性。若Ａ表示一个随机事件，则P(A)表示事件Ａ发生的概率。（１）古典概率（先验概率：概率纯粹源自推理）等可能性、互斥性ｎ表示随机实验的结果总个数ｍ表示属于事件Ａ的结果个数条件一：实验结果互斥条件二：实验结果等可能发生Ｐ（Ａ）＝ｍ／ｎ应用缺陷14古典概率的计数法则

5、乘法原理：如果一个事件的完成要经过K个步骤，每一步骤分别有n1，n2，……，nk种方法，则完成该事件共有n1·n2…n(k-1)·nk种方法。加法原理：如果一个事件的完成有K种方式，每种方式分别有n1，n2，……，nk种方法，则完成该事件共有n1+n2+…+nk种方法。15例子1：掷一颗骰子，有六种可能的结果：1，2，3，4，5，6.这些结果互斥，因为不可能出现两个或更多个数字同时朝上的情形。而且，这六种可能结果等可能发生。因此，根据古典概率的定义，任何一个数字朝上的概率为1/6—因为共有六种可能结果，每种结果等可能发生。这里

6、，n=6,m=1.16例子2：考虑一个游戏，先后投掷两颗骰子，求投掷结果为“先单后双”的概率。解：令事件Ａ表示“先单后双”这一投掷结果，即需求P(A)。该随机实验的所有结果个数为6*6=36，则n=36。完成事件Ａ需要两个步骤，第一个步骤为“投掷结果为单”，第二个步骤为“投掷结果为双”。每个步骤均可由3种结果（1、3、5和2、4、6）实现。那么完成事件Ａ共有3*3=9种结果可以实现，从而m=9。P(A)=m/n=9/36=1/4=0.2517（２）统计概率概率的统计定义（或频率定义、经验定义）无等可能性、无互斥性ｎ表示随机实验

7、的总次数或是观测样本的总个数。ｍ表示实验结果属于事件Ａ的次数或是观测样本属于事件Ａ的个数，通常称为事件Ａ发生的频数。Ｐ（Ａ）≈ｍ／ｎ18统计概率的例子抛一枚质地不均匀的硬币，求正面朝上的概率。射击手中靶的概率寿命超过一百岁的概率200个学生微观经济学考试分数的分布（见教材P21)19６、概率的性质(1)0≤P(A)≤１(2)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为零。(3)若A、B、C…为互斥的完备事件组则P(A+B+C+…)=1(4)若A、B、C…为互斥事件则P(A+B+C+…)=P(A)+P(B)+P(C)+…(5)

8、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)注：如果A,B互斥，则P(AB)=0207、条件概率8、独立事件21条件概率例子例子1：随机抛一个骰子，如果朝上一面的点数为偶数，求点数为2的概率。A=“点数为2”B=“点数为偶数”22条件概率例子例子2：（1）一个盒子里装10个球