数理统计-概率与概率分布

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1、第三章概率与概率分布要点概率基础知识几种常见的理论分布统计数的分布事件在自然界中,有许多现象是可以预言在一定条件下是否出现.例如水在标准大气压条件下,温度加热到100℃时肯定沸腾---必然事件(记为U)又如必然事件的反面,种子的发芽率不可能超过100%---不可能事件(记为V)再如小麦播种后可能发芽也可能不发芽,这种在确定条件下可能出现也可不出现的现象---随机事件,简称事件概率基础知识频率和概率事件A在n次重复试验中发生了m次,则事件A发生的频率为W(A)=m/n事件A发生的概率为P(A)种子总数(n)102050100200500100

2、0发芽种子数(m)9194791186458920种子发芽率(m/n)0.90.950.940.910.930.9180.92例某批玉米种子的发芽试验结果0≤W(A)≤10≤P(A)≤1概率的计算事件的相互联系(韦恩图)和事件A+B积事件A·B互斥事件A·B=V对立事件A+B=UA·B=VABAAABBB独立事件事件A的发生与事件B的发生毫无联系,反之亦然,则称事件A和时间B互为独立事件.完全事件系A1+A2+…+An=UA1、A2、…、An两两互斥概率的计算法则加法定理互斥事件的和事件等于事件A和B的概率之和P(A+B)=P(A)+P(B

3、)A、B为对立事件,概率之和为1P(A)+P(B)=1P(B)=P()=1-P(A)完全事件系的和事件的概率为1P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1例调查某玉米田,一惠株占67.2%,双惠株占30.7%空惠占2.1%,试计算一惠株和双惠株的概率。乘法定理如果事件A和事件B为独立事件,则事件A与事件B同时发生的概率即它们的积事件等于事件A和事件B各自概率的乘积P(A·B)=P(A)·P(B)如果A1、A2、…、An彼此独立P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)对于混合事件P(A+B

4、)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)例播种玉米时,每穴播种两粒种子,已知玉米种子的发芽率为90%，试求每穴两粒种子均发芽的概率和一粒种子发芽的概率。条件概率是指一个事件给定下另一事件发生的可能性:给定事件B发生，事件A发生的概率P(A/B)=例如：P(RedCard给定是一张Ace)=计算条件概率概率分布离散随机变量随机变量:是一次试验的结果的数值性描述离散随机变量:指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量例值概率01/4=0.2512/4=0.5021/4=0.25事件:抛2个硬币.数是正面的个数TTTT离散概率分布列出所有可能的[

5、Xi,f(Xi)]Xi=随机变量的值(结果)P(Xi)=取这个值的概率相互排斥(没有重叠)穷举性(没有漏下)0≤f(Xi)≤1Sf(Xi)=1离散随机变量的度量数学期望（ExpectedValue）或平均值度量随机变量的中心位置E(x)==xp(x)方差（Variance）随机变量的取值离均值的变异程度Var(x)=2=(x-)2p(x)标准差σ=∑(x-µ)2p(x)现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：经济状况可能的报酬率（%）状况发生的概率经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常101

6、50.3衰退0450.3萧条-10750.1试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。即乙股票的报酬率高，风险也高。重要的离散概率分布离散概率分布Binomial二项分布Hypergeometric超几何分布Poisson泊松分布BinomialProbabilityDistributions二项分布二项试验的性质试验由一个包括n次相同的试验的序列组成每次试验只有两个结果,构成对立事件成功的概率为p,每次试验都相同试验都是独立的BinomialProbabilityDistributions二项分布二项分布函数其中f(x)=n次

7、试验中成功x次的概率n=试验次数p=每次试验中成功的概率例：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？最多有一台使用电力的概率为多少？解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。例、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。BinomialDistributionCharacteristics二项分布

8、的特征n=5p=0.1n=5p=0.5数学期望（均值）标准方差msEXnpnpp===-()()10.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)e.g.m