矩阵论第一章线性空间和线性映射

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1、第一章线性空间和线性映射本章知识要点线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换；线性空间的分解：子空间、值域(像空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和；线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。集合集合元素、子集、集合相等、

2、运算（交、并、补）例：数域是一个集合含有加法+和乘法*含有元素0，满足对任何元素a，有a+0=a；含有1，满足对任何元素a，有a*1=a；任何元素a存在负元素b，满足a+b=0；非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1；对加法和乘法封闭常用数域有：有理数域、实数域、复数域映射映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则)f:S→S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。一般称a’为a的像，a为a’的原像。变换：若S=S‘，则称映射为变换。映射的相等：设有两个映射f:S→S’和g:S→S’

3、，若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。映射的乘积(复合)：若f:S1→S2和g:S2→S3，则映射的乘积g○f定义为：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情况下，简记g○f为gf映射的例子例子1：设集合S是数域F上所有阶方阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：为S到S上的一个变换。线性空间的定义定义：设V是一个非空的集合，F是一个数域，在集合V中定义两种

4、代数运算,一种是加法运算，用+来表示，另一种是数乘运算,用∙来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律：α+β=β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V都有α+0=α（4）对于V中的任意元素α都存在一个元素β使得：α+β=0线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：1∙α=α（6）对k,l∈F,α∈V有：(kl)∙α=k∙(l∙α)（7）对k,l∈F,α∈V有：(k+l)∙α=k∙α+l∙α（8）对k∈F,α,β∈V有：k∙(α+β)=k∙α+k

5、∙β称这样的集合V为数域F上的线性空间。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。线性空间的例子例1：全体实函数集合RR构成实数域R上的线性空间。例2：复数域C上的全体m×n阶矩阵构成的集合Cm×n为C上的线性空间。例3：实数域R上全体次数小于或等于n的多项式集合R[x]n构成实数域R上的线性空间。例4：全体正的实数R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意k∈R,a,b∈R+例5：R∞表示实数域R上的全体无限序列组成的的集合。即线性空间的例子（续）则R∞为实数域R上的一个线性空间。在R∞中定义加法与数乘：例

6、6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成R上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有线性空间的例子（续）例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合构成R上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛线性空间的基本概念及其性质基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组

7、的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。例1实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例3实数域R上的线性空间RR中，函数组也是线性无关的。例4实数域上的线性空间空间中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底与维数定义：设V为数域F上的一个线性空间。如果在V中存在n个线性

8、无关的向量，使得V中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为V的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称V为一个n维线性空间，记为dimV=n。例1实数域R上的线性空间R3中向量组与向量组基底的例子都是线性空间R3的基底