矩阵论 第一章 线性空间和线性映射.ppt

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时间:2020-01-17

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1、第一章线性空间和线性映射本章知识要点线性空间:维数、基、坐标、基变换、坐标变换;线性空间的分解:子空间、值域(像空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和;线性变换及其矩阵表示:定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;欧氏空间和酉空间:内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。Hibert空间:平方可积空间和平方可和空间。

2、集合集合元素、子集、集合相等、运算(交、并、补)例:数域是一个集合含有加法+和乘法*含有元素0,满足对任何元素a,有a+0=a;含有1,满足对任何元素a,有a*1=a;任何元素a存在负元素b,满足a+b=0;非零元素a存在逆元素b,满足a*b=1;对加法和乘法封闭常用数域有:有理数域、实数域、复数域映射映射:集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则)f:S→S’,对S中任何元素a,都有S’中的元素a‘与之对应,记为:f(a)=a’或a→a’。一般称a’为a的像,a为a’的原像。变换:若S=S‘,则称映

3、射为变换。映射的相等:设有两个映射f:S→S’和g:S→S’,若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。映射的乘积(复合):若f:S1→S2和g:S2→S3,则映射的乘积g○f定义为:g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情况下,简记g○f为gf映射的例子例子1:设集合S是数域F上所有阶方阵的集合,则f(A)=det(A)为S到F的映射。例2:设S为次数不超过n的多项式构成的集合,则求导运算:δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。例3:S为平方可积函数构成的集合,则傅里叶变换:为S到

4、S上的一个变换。线性空间的定义定义:设V是一个非空的集合,F是一个数域,在集合V中定义两种代数运算,一种是加法运算,用+来表示,另一种是数乘运算,用∙来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律:(1)加法交换律:α+β=β+α(2)加法结合律:(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)零元素:在V中存在一个元素0,使得对于任意的α∈V都有α+0=α(4)对于V中的任意元素α都存在一个元素β使得:α+β=0线性空间的定义(续)(5)数1:对α∈V,有:1∙α=α(6)对k,l∈F,α∈V有:(kl)∙α=k∙(l∙

5、α)(7)对k,l∈F,α∈V有:(k+l)∙α=k∙α+l∙α(8)对k∈F,α,β∈V有:k∙(α+β)=k∙α+k∙β称这样的集合V为数域F上的线性空间。可以证明:零元素唯一,每个元素的负元素都是唯一的。线性空间的例子例1:全体实函数集合RR构成实数域R上的线性空间。例2:复数域C上的全体m×n阶矩阵构成的集合Cm×n为C上的线性空间。例3:实数域R上全体次数小于或等于n的多项式集合R[x]n构成实数域R上的线性空间。例4:全体正的实数R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间:对任意k∈

6、R,a,b∈R+例5:R∞表示实数域R上的全体无限序列组成的的集合。即线性空间的例子(续)则R∞为实数域R上的一个线性空间。在R∞中定义加法与数乘:例6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成R上的线性空间。Cauchy条件是:使得对于都有线性空间的例子(续)例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合构成R上的线性空间。Hilbert条件是:级数收敛线性空间的基本概念及其性质基本概念:线性组合;线性表示;线性相关;线性无关;向量组的极大线性无关组;向量组的秩。基本性质:(1)含有零向

7、量的向量组一定线性相关;(2)整体无关则部分无关;部分相关则整体相关;(3)如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出,那么含有向量多的向量组一定线性相关;(4)向量组的秩是唯一的,但是其极大线性无关组并不唯一;(5)如果向量组(I)可以由向量组(II)线性表出,那么向量组(I)的秩小于等于向量组(II)的秩;(6)等价的向量组秩相同。例1实数域R上的线性空间RR中,函数组是一组线性无关的函数,其中为一组互不相同的实数。例2实数域R上的线性空间RR中,函数组是一组线性无关的函数,其中为一组互不

8、相同的实数。例3实数域R上的线性空间RR中,函数组也是线性无关的。例4实数域上的线性空间空间中,函数组与函数组都是线性相关的函数组。线性空间的基底与维数定义:设V为数域F上的一个线性空间。如果在V中存在n个线性无关的向量,使得V中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为V的一个基底;为向量在基底下的坐标。此时我们称V为一个n维线性空间,记为dimV=n。例1实数域R上的线性空间R3中向量组与向量组基底的例子都是线性空间R3的基底

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