函数的极值与函数图像

《函数的极值与函数图像》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增函数f(x)减函数巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)>0,得x<0或x>1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0

2、1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f(x)<0f(x)>0f(x)>0极值x2xXx2f(x)f(x)xXx1f(x)f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同，x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求

3、方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结因为所以例1求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.变式求下列函数的极值:解:令解得列表:x0f(x)+单调递增单调递减–所

4、以,当时,f(x)有极小值求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.求下列函数的极值:解:解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.例3已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判

5、断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析](1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．而x10，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2.∴a＝2，b＝0.注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有

6、多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②f(x)=在x=0处取极大值0，③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。⑤函数的极值即为最值有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,已知函数解得a>6或a<3练习1：求在时极值。练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与x=-1处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.

7、练习3：已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值练习4：设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.小结：1个定义:极值定义2个关键：①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0。②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况