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时间：2019-07-13
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1、§3.4高阶导数与高阶微分定义3.4.1x0二阶可导，且称若函数y=f(x)的导函数在x0可导，则称y=f(x)在x0的在x0的导数为y=f(x)在若函数y=f(x)在区间I内每一点都二阶可导，二阶导数，记作则称它在I内二阶可导，并称二阶导函数，或简称为二阶导数.二阶及其以上的各阶导数统称为高阶导数，也称为一阶导数.为f(x)在I内类似地可以定义三阶导数四阶导数一般说可由n－1阶导数定义n阶导数.y=f(x)的n阶导数记为或例1解：设求所以特别地当a=e时有例2解：求y=sinx的n阶导数.则若由数学归纳法可得类似
2、地有例3解：求y=ln(1+x)的n阶导数.一般地注公式(2)称为莱布尼兹公式.求函数的高阶导数常用以下两个公式：其中，u(x)与v(x)都是n阶可导函数，例4解：设y=x2sinx,求令u=sinx，v=x2，则代入莱布尼兹公式，得例5解：求设由参数方程求导法则得再运用一次参数方程求导法则，可得高阶微分称它为函数y=f(x)的二阶微分,并记作设自变量的增量为dx，对固定的dx，一阶微分可看做x的函数.再对x求微分得到一般地，可由n－1阶微分定义n阶微分，记作dny，即注1注2一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分，
3、已不再具有这个性质.dx2指dx的平方，而d2x表示x的二阶微分，d(x2)表示x2的微分.
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