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1、第一讲矩阵的基本运算第二讲向量的距离与夹角余弦第三讲数据的属性与处理方法第二讲向量的距离与夹角余弦安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大
2、学AnhuiUniversityofFinance&Economics§1.3向量的距离与夹角余弦§1.4线性方程组AX=b的求解1.向量的数量积，矢量积例如：a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]则Matlab中数量积:dot(a,b);矢量积:cross(a,b)dot(a,b)=27,cross(a,c)=(2,2,-2)解：a,b,c的混合积为：dot(a,cross(b,c))练习：计算a,b,c的混合积三、向量的距离与夹角余弦1）Matlab中向量a的范数为：norm(a)例1a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b的
3、范数解：norm(a)=3.7417,norm(b)=7.8740练习：对例1计算：a,b夹角的余弦dot(a/norm(a),b/norm(b))解法二：dot(a,b)/norm(a)/norm(b)解法一：=0.9164思考：a,b,c三个向量那两个更接近？事实上，范数的平方=向量a自身的数量积三、向量的距离与夹角余弦2.矩阵的范数与向量的标准化如例1a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1],求a,b,c之间的夹角余弦解：输入:A=[a;b;c];B=1-pdist(A,'cosine')输出结果为:B=0.91640.75590.4490三、向量的距离与
4、夹角余弦计算向量之间夹角的余弦还可以用命令:B=1-pdist(A,’cosine’)计算矩阵A的行向量之间的夹角余弦2)矩阵的范数有以下几种：(1)n=norm(A)矩阵A的普范数(2范数),=A’A的最大特征值的算术根.(2)n=norm(A,1)矩阵A的列范数（1-范数）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩阵A的行范数(无穷大范数)等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩阵A的Frobenius范数.记为：三、向量的距离与夹角余弦3)方阵的谱半径：方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径记为：例3.求矩阵的谱半径由eig(A)知矩阵A的
5、特征值分别为1,-2,1。三、向量的距离与夹角余弦例3.将矩阵的行向量与列向量标准化解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)也可以输入命令：b(1)=norm(A(1,:));b(2)=norm(A(2,:));b(3)=norm(A(3,:));c=b’*ones(1,3);B=A./c4）矩阵的行向量、列向量标准化的命令：normr(A)，normc(A)（normr(A)表示将矩阵每一行除以该行的范数）什么意思??求出A矩阵个各行的范数,转置后变为3*1阶矩阵,三、向量的距离与夹角余弦n维欧氏空间:设表示n维向量的全体所组成的
6、集合，称为n维欧氏空间称为与的欧氏距离称为与的绝对距离如果三、向量的距离与夹角余弦2.常见的向量距离闵可夫斯基距离：当r=1,2时分别为绝对距离和欧氏距离马氏距离：其中V是一个实对称正定矩阵，通常取样本的协方差矩阵，当V=E时即为欧氏距离.以上距离，在Matlab(6.)中有命令:pdist具体如下：三、向量的距离与夹角余弦(1)欧氏距离：如果A是aⅩm阶矩阵,B是mⅩb阶矩阵.即A的行向量维数等于B的列向量维数．三、向量的距离与夹角余弦dist(A,B)结果是一个aⅩb阶上三角形矩阵d(i,j)表示A的第i个行向量与B的第j个列向量之间欧氏距离Matlab中命令：dist(A,B
7、)计算A中每个行向量与B中每个列向量之间欧氏距离．例4.a=[1,2,3],b=[-1,5,6],c=[1,0,1]求a,b,c欧氏距离解:输入:a1=dist(a,b'),a2=dist(a,c'),a3=dist(c,b')或者输入:A=[a;b;c];pdist(A)三、向量的距离与夹角余弦Pdist(X)—样本X中各n维向量的欧氏距离如果X是m个n维行向量所组成的矩阵，则有：注意：而pdist(X)是个一行列矩阵。各列分别表示X中各行向量按如下顺序的距离(1,
