1.4《全称量词与存在量词（一）量词》

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1、1.4.1《全称量词与存在量词》（一）量词表示人、事物或动作的单位的词称为量词下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在一个实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；全称量词、存在量词全称量词“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物E来说，E都是F。”存在量词“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物E，E是F。”含有量词

2、的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种:单称命题：其公式为“（这个）S是P”。单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有S是P”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”全称量词、存在量词特称命题:其公式为“有的S是P”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。简记为：x0∈M，P（x0）读作“存在一个x0属于

3、M，使P（x0）成立”判断下列哪些命题是全称命题，还是特称命题？（1）负数的平方是正数；（2）凡是质数都是奇数；（3）不论m取何值，方程x2＋x+m=0必有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；（7）有的实数是无限不循环小数。例1判断下列命题的真假:(1)(2)(3)(4)例2指出下述推理过程的逻辑上的错误:第一步：设a=b，则有a2=ab第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，

4、2b=b第六步：两边都除以b得，2=1回顾反思要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。1.4.2《全称量词与存在量词》（二）量词否定思考1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定.想一想这些命题和它们的否定在形式上有什么不同？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R，x2-2x

5、+1≥0；一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论:全称命题p:全称命题的否定是特称命题.x∈M,P(x)它的否定¬p：x0∈M，¬P（x0）一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论:特称命题的否定是全称命题.特称命题P：x0∈M，P（x0）它的否定¬P：x∈M,¬P(x)（1）p：x0∈R，x02+2x0+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；（5）p：不是每一个人都会开车；（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解；探究：写出命题的否定关键量词的否定词

6、语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：x0∈R，x02－x0+1＝0；例2写出下列命题的否定（1）所有自然数的平方是正数。（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。例3写出下列命题的否定（1）若x2＞4则x＞2.。（2

7、）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。（3）可以被5整除的整数，末位是0。（4）被8整除的数能被4整除。例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。练习：写出下列命题的否定：（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字