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时间：2019-07-27
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1、《数学物理方程》第四章波动方程的解——达朗贝尔公式达朗贝尔公式应用非齐次方程的柯西问题无界域内波动方程的柯西问题利用特征线方法，可以求得通解为:u(x,t)=f1(x+at)+f2(x–at)波动方程的解——达朗贝尔公式由初始条件，有特解——达朗贝尔公式例解:微分方程对应的特征线方程为(dt)2–2dtdx–3(dx)2=0令:得解之积分:得3x–t=C1,x+t=C2(x∈R,t>0)原方程化为标准型:u=f1(3x–t)+f2(x+t)解:半无界弦振动问题——端点固定将问题视为满足条件u(0,t)=0的无界问题处理。将φ(x)和ψ(x)延拓到整个无界区域为。将端点条件代入达朗贝
2、尔公式故将φ(x)、ψ(x)延拓为奇函数半无界弦问题延拓为无界弦问题有达朗贝尔公式当时,x–at≥0当时,x–at<0将端点条件代入达朗贝尔公式,得φ’(x)具有奇函数特征,ψ(x)具有偶函数特征φ(x)具有偶函数特征,ψ(x)具有偶函数特征半无界弦振动问题——端点自由故将φ(x)、ψ(x)延拓为偶函数半无界弦问题延拓为无界弦问题达朗贝尔公式当时,x–at≥0当时,x–at<0非齐次方程的柯西问题首先将非奇次方程的柯西问题分为下面两个问题(A)(B)非齐次方程的柯西问题如果w(x,t,τ)是齐次方程柯西问题(B)的解,则是原问题(B)的解。(B)’引入变换:s=t–τ则问题(B)’
3、化为如下形式达朗贝尔公式s=t–τ代入问题(B)的解:例求解初值问题解:令f(x,t)=ex思考题提示:令
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