自动控制原理 李明富 第5章 频域分析法

《自动控制原理 李明富 第5章 频域分析法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第5章频域分析法5.1频率特性基本概念5.1.1频率特性的概念为了说明什么是频率特性，先看一个RC电路，如图5-1所示。输入和输出电压分别为ur(t)和uc(t)，电路的传递函数为式中，T=RC为电路的时间常数。若给电路输入一个振幅为X、频率为的正弦信号，即ur(t)=Xsint（5-1）当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为图5-1RC电路对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当t→∞时，第一项趋于0，电路稳态输出为（5-2）式中，为输出电压的振幅；为uc(t)与ur(t)之间的相位差。式（5-

2、2）表明：RC电路在正弦信号ur(t)作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的倍，相位则滞后了arctanT。上述结论具有普遍意义。事实上，对于任何线性定常系统，都可得到类似的结论。如对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号r(t)=Xsint（5-3）则系统的稳态输出c(t)也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相角不一样，即c(t)=Ysin(t+)（5-4）r(t)和c(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率的改变，两者之间的振幅与相位关系也随

3、之改变。这种基于频率的系统输入和输出之间的关系称为系统的频率特性。线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式（5-5）式中，B(s)——传递函数G(s)的m阶分子多项式，s为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n阶分母多项式(n≥m)；p1,p2,…,pn——传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统来说，它们都应该有负的实部。由式（5-1）可知，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为（查拉氏变换表）（5-6）输出信号y(t)的拉氏变换为C(s)=R(s)G(s)将式（5-3）、式（5-4）代入上式得上式可改写成（

4、利用部分分式法）（5-7）式中，a1,a2,b1,b2,…,bn——待定系数，它们均可用留数定理求出。其中a1和a2是共轭复数。将式（5-5）两边取拉氏反变换，可得对于稳定的系统，由于极点p1,p2,…,pn都具有负实部，所以当t→∞时，都将衰减到零。这时输出信号C(t)只由式（5-6）中的第一项和第二项决定，即稳态输出c(∞)为（5-9）式（5-7）中的待定系数a1和a2可分别由留数定理求得（5-10）上式中G(j)和G(−j)都是复数，可以用极坐标形式表示为（5-11）将式（5-8）、式（5-9）代入式（5-7）得式中，。式（5-12）

5、表明，线性定常系统在正弦输入信号r(t)=Xsint的作用下，稳态输出信号c(∞)仍是与输入信号相同频率的正弦信号，只是振幅与相位不同，输出信号c(∞)的振幅Y是输入信号振幅X的

6、G(j)

7、倍，相位移为=，且都是角频率的函数。相位移为正时，表示输出信号c(∞)的相位超前输入信号r(t)的相位；相位移为负时，表示输出信号c(∞)的相位滞后输入信号r(t)的相位。如果改变输入信号r(t)的频率，则

8、G(j)

9、和也随之改变。线性定常系统在正弦输入时，稳态输出c(∞)与输入r(t)的振幅比和相位移=随频率而变化的函数关系，分别称为幅

10、频特性和相频特性，并分别用M()和()表示，即M()=

11、G(j)

12、()=M()和()合起来称为系统的频率特性。由式（5-11）可知，

13、G(j)

14、和可以由G(j)来统一表示，即G(j)=

15、G(j)

16、（5-13）从以上分析可知，若将传递函数中的s以j代替，就得到频率特性，即G(j)=G(s)

17、s=j。可以证明，这个结论对于结构稳定的线性定常系统（或环节）都是成立的。所以，如已知系统(或环节)的传递函数，只要用j置换其中的s，就可以得到该系统（或环节）的频率特性。反过来看，如果能用实验方法获得系统（或元部件）的频率

18、特性，又给确定系统（或元部件）的传递函数提供了依据。5.1.2频率特性的表示方法1．数学表示方法频率特性是一个复数，所以它和其他复数一样，可以表示为指数、直角坐标和极坐标等几种形式，如图5-2所示。频率特性的几种表示方法如以下各式。G(j)=P()+jQ()(直角坐标表示式)=

19、G(j)

20、G(j)(极坐标表示式)=M()ej()(指数表示式)式中，P()和Q()分别称为系统（或元件）的实频特性和虚频特性。图5-2G(j)在复平面上的表示由图5-2所示几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为P()=M()c

21、os()（5-14）Q()=M()sin()（5-15）（5-16）（5-17）2．频率特性的图形表示方法用频率法分析、设计控制系统时，常