多元函数的极值与最值(I)

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1、1第六节多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.2(1)(2)(3)例1例２例３3播放456789101112极值的求法（称驻点）驻点或不可导点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？点是函数的不可导点，不是极值点13定理2（充分条件）负定正定14例4解无极值极小值-5极大值31无极值驻点15二元函数的最值若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.设生产某种商品需原料A和B，设A的单

2、价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为例5解且商品售价为5,求最大利润.利润函数为16令解得唯一驻点唯一驻点为极大值点，即为最大值点，最大利润为17例6解18令19解例7总利润为20令解得21用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外,往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例8解即表面积最小.代入目标函数,化为无条件极值问题：xyz22内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的

3、平等关系和对称性被破坏；2.有时隐函数显化困难甚至不可能.23拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数令若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点.24则构造拉格朗日函数为令25用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？例8解由实际问题,即为最小值点.xyz26在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.27例9解解得唯一驻点即做成正三角形时面积最大.28三角形中,以正三角形面积为最大:四

4、边形中,以正方形面积为最大：29解例10先求函数在D内的驻点，解方程组30为最小值.31例11解32由由实际问题，此即最佳分配方案.33解法1例12因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，34因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法2例1235练习：P317习题八36附录、最小二乘法37例价格与供给量的观察数据见下表：x(元)23456810121416y(吨)152025303545608080110散点图由图可以看出，x与y之间存在一定的相关关系，且这种关系是线性关系.38达到最小.上述估计a,b的方法称为最小二乘法.LSE(Lea

5、stSquareEstimation)求线性经验公式(回归直线方程)使39——称为正规方程组其中40系数行列式所以方程组有唯一解41记则显然回归直线经过散点图的几何中心42例价格与供给量的观察数据见下表：x(元)23456810121416y(吨)152025303545608080110求y对x的回归方程.解43所以所求回归方程为