多元函数的极值与最值(II)

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1、第八章§8.58.5.1、多元函数的极值8.5.2、最值应用问题8.5.3、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值8.5.1、多元函数的极值定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点

2、不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束驻点极值点时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当(证略)时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下

3、页返回结束8.5.2、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据机动目录上页下页返回结束在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）例2.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取

4、怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例3.某工厂生产两种产品甲与乙,出售单价分别为10元解:与9元,生产x单位的产品甲与y单位的产品乙的总费用是:因为利润=收益–成本,求取得最大利润时,两机动目录上页下页返回结束种产品的产量是多少?所以得惟一驻点再由故为极大值点.所以当甲产品为120件,乙产品为80件时利润最大.8.5.3、条件极值与拉格朗日乘数法.极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对

5、自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如,故故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件机动目录上页下页返回结束例4.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程

6、组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问机动目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.例5.设销售收入R(单位:万元)与花费在两种广告宣传的解:费用x,y(单位:万元)之间的关系为利润额机动

7、目录上页下页返回结束相当于五分之一的销售收入,并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金为25万元,问如何分配两种广告费用利润最大?条件为于是设拉氏函数为:由上两个方程得方程的解为根据该问题本身的意义,有惟一驻点,故两种广告费用分别15万元和10万元时,利润最大.内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点

8、上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.机动目