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《多元函数的极限与连续性(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数的极限与连续性二重极限累次极限2007年8月1南京航空航天大学理学院数学系与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.返回2007年8月2南京航空航天大学理学院数学系一、二重极限定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.若使得当时,都有则称在D上当时以A为极限,记作2007年8月3南京航空航天大学理学院数学系当P,分别用坐标表示时,上式也常写作例1依定义验证证因为简记
2、为2007年8月4南京航空航天大学理学院数学系不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于是有2007年8月5南京航空航天大学理学院数学系当时,就有这就证得所以2007年8月6南京航空航天大学理学院数学系例2设证明证(证法一)2007年8月7南京航空航天大学理学院数学系可知故注意不要把上面的估计式错写成：2007年8月8南京航空航天大学理学院数学系因为的过程只要求即而并不要求(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何).由于因此，对任何2007年8月9南京航空航天大学理学院数学系都有下述定理及其推论相当于一元函数极限
3、的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理1的充要条件是：对于D的任一子集E,只要仍是E的聚点,就有2007年8月10南京航空航天大学理学院数学系推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则也不存在．推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．2007年8月11南京航空航天大学理学院数学系推论3极限存在的充要条件是：D中任一满足条件它所对应的函数列都收敛．下面三个例子是它们的应用．例3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)2007年8月12南京航
4、空航天大学理学院数学系时，由于,因此有这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．2007年8月13南京航空航天大学理学院数学系如图16-15所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,相应的都趋于0,但这并不表明此函数在2007年8月14南京航空航天大学理学院数学系时的极限为0.因为当(x,y)沿抛物线趋于点O时,将趋于1.所以极限不存在.例5讨论在时不存在极限．解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使时,得到两个相异的极限．2007年8月15南京航空航天大学理
5、学院数学系第一条路径简单地取此时有第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到2007年8月16南京航空航天大学理学院数学系这就达到了预期的目的．(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，是D的一个聚点.若使得则称f在D上当时,有非正常极限,记作下面再给出当时,2007年8月17南京航空航天大学理学院数学系或仿此可类似地定义：例6设.证明证此函数的图象见后面的图.2007年8月18南京航空航天大学理学院数学系2007年8月19南京航空航天大学理学
6、院数学系因,故对只需取这就证得结果．二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特同,这里不再一一叙述.看作点函数别把时,相应的证法也相2007年8月20南京航空航天大学理学院数学系不存在.观察播放2007年8月21南京航空航天大学理学院数学系二、累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋在上面讨论的中,自变量于与时f的极限,这种极限称为累次极限.定义32007年8月22南京航空航天大学理学院数学系如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为先对后对的它一般与y有关,记作2
7、007年8月23南京航空航天大学理学院数学系类似地可以定义先对y后对x的累次极限:注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.例7设.由例3知道当时的重极限不存在.但当时,有2007年8月24南京航空航天大学理学院数学系从而又有同理可得这说明f的两个累次极限都存在而且相等.累次极限分别为例8设,它关于原点的两个2007年8月25南京航空航天大学理学院数学系当沿斜率不同的直线时,有诉我们,这个结果是必然的.)因此该函数的重极限不存在.(下面的定理2将告2007年8月26南京航空
8、航天大学理学院数学系例９设,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何时,f的第二项不存在极限.同理,f的第一项当时也不存在极限.但是由于故按定义知道时f的重极限存在,且2007年8月27南京航空航天大学理学院数学系下述定理告诉我们:重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的.定理2若f(x,y)的重极限与累次极限都存在,则两者必定相等.证设则使得当时,
