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1、多元函数的极限与连续性多元函数的概念二元函数——n元函数2007年8月1南京航空航天大学理学院数学系二元函数※函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.2007年8月2南京航空航天大学理学院数学系定义2设平面点集,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射),记作也记作或点函数形式2007年8月3南京航空航天大学理学院数学系与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称为f在点P的函数值;全体函数值的集合为f的值域,记作.通常把P的坐标x与y称为f的自变量,
2、而把z称为因变量.当把和它所对应的一起组成三维数组(x,y,z)时,三维点集便是二元函数f的图象,通常该图象是一空间曲面.2007年8月4南京航空航天大学理学院数学系例1函数的图象是R3中的一个平面,其定义域是R2,值域是R.例2的定义域是xOy平面上的单位圆域,值域为区间[0,1],它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分.例3是定义在R2上的函数,它的图象是过原点的双曲抛物面.例4是定义在R2上的函数,值域是全体非负整数.2007年8月5南京航空航天大学理学院数学系例2例3例42007年8月6南京航空航天大学理学院数学系※若二元函数的值域是有界数集,则称函数在D上为一有界函数(如例2中的
3、函数).否则,若是无界数集,则称函数在D上为一无界函数(如例1、3、4中的函数).与一元函数类似地,设则有2007年8月7南京航空航天大学理学院数学系例5设函数(此函数在以后还有特殊用处)试用等高线法讨论曲面的形状.解用为一系列常数)去截曲面得等高线方程2007年8月8南京航空航天大学理学院数学系当时,得平面上的四条直线当时,由等高线的直角坐标方程难以看出它的形状.若把它化为极坐标方程,即令得到如下一页图所示,为所对应的一族等高线.2007年8月9南京航空航天大学理学院数学系2007年8月10南京航空航天大学理学院数学系由此便可想象曲面的大致形状如图所示,坐标原点是曲面的一个鞍点,四道“山谷”
4、与四道“山脊”在鞍点处相汇.2007年8月11南京航空航天大学理学院数学系n元函数所有n个有序实数组的全体称为n维向量空间,简称n维空间,记作Rn.其中每个有序实数组称为Rn中的一个点;n个实数是这个点的坐标.设E为Rn中的点集,若有某个对应法则f,使E中每一点都有惟一的一个实数y与之对应,则称f为定义在E上的n元函数,记作2007年8月12南京航空航天大学理学院数学系也常写成或对于后一种被称为“点函数”的写法,它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致,以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;同时,还可把二元函数的很多论断推广到元函数中来.2007年8月13南京航空航天大学理学院
5、数学系
