初中数学十大思想方法-待定系数法

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1、初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值

2、”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）

3、确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.　待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。-6-典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若是完全平方式，则=【】A．9B

4、．－9C．±9D．±3【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设，则，∴。故选A。练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【】A．64B．48C．32D．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　▲　。3.（2011江苏连云港3分）计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为【】A．－2B．2C．－4D．44.（2011湖北荆州3分）将代数式化成的形式为【】A.B.C.D.二.　待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数

5、，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：（2012四川凉山4分）已知，则的值是【】A．B．C．D．【答案】D。【考点】比例的性质。【分析】∵，∴设，则b=5k，a=13k，把a，b的值代入，得，。故选D。练习题：-6-1.（2012北京市5分）已知，求代数式的值。2.（2011四川巴中3分）若，则=▲。三.　待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）

6、。典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：＝▲。【答案】（x－1）（x＋2）。【考点】因式分解。【分析】设，∵，，解得或，∴。〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗例2：分解因式：▲。【答案】。【考点】因式分解。【分析】∵，∴可设。∵，∴。比较两边系数，得。联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。-6-∴。练习题：1.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.2.用待定系数法，求（x+y）5的展开式3.推导一元三次方程根与系数的关系。四.　待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求

7、函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设