初中数学十大思想方法-待定系数法.doc

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1、初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数),称作待定系数。然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分,在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题

2、获解。例如:“已知x2-3=(1-A)·x2+Bx+C,求A,B,C的值”,解答此题,并不困难,只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后,就可得到A,B,C的值。这里的A,B,C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“点(2,﹣3)在正比例函数图象上,求此正比例函数”,解答此题,只需设定正比例函数为y=kx,将(2,﹣3)代入即可得到k的值,从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,

3、从而使问题获解。例如:“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则,代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是:(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);(3)解方程(组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一. 待定系数法在代数式变型

4、中的应用:在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中,根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程(组),解出方程(组)即可求得答案。-6-典型例题:例:(2011云南玉溪3分)若是完全平方式,则=【】A.9B.-9C.±9D.±3【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设,则,∴。故选A。练习题:1.(2012江苏南通3分)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于【】A.64B.48C.32D.162.(2012贵州黔东南4分)二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式,则k的值是 ▲ 。3.

5、(2011江苏连云港3分)计算(x+2)2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为【】A.-2B.2C.-4D.44.(2011湖北荆州3分)将代数式化成的形式为【】A.B.C.D.二. 待定系数法在分式求值中的应用:在一类分式求值问题中,已知一比例式求另一分式的值,可设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求分式,从而使问题获解。典型例题:例:(2012四川凉山4分)已知,则的值是【】A.B.C.D.【答案】D。【考点】比例的性质。【分析】∵,∴设,则b=5k,a=13k,把a,b的值代入,得,。故选D。练

6、习题:-6-1.(2012北京市5分)已知,求代数式的值。2.(2011四川巴中3分)若,则=▲。三. 待定系数法在因式分解中的应用:在因式分解问题中,除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解,特别对于三项以上多项式的分解有很大作用(如:x3-6x2+11x-6,,目前这类考题很少,但不失为一种有效的解题方法)。典型例题:例1:(2012湖北黄石3分)分解因式:=▲。【答案】(x-1)(x+2)。【考点】因式分解。【分析】设,∵,,解得或,∴。〖注:本题实际用十字相乘

7、法解题更容易,但作为一种解法介绍于此。〗例2:分解因式:▲。【答案】。【考点】因式分解。【分析】∵,∴可设。∵,∴。比较两边系数,得。联立①,②得a=4,b=-1。代入③式适合。-6-∴。练习题:1.已知:4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求:a和b的值.2.用待定系数法,求(x+y)5的展开式3.推导一元三次方程根与系数的关系。四. 待定系数法在求函数解析式中的应用:待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法,求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数

8、与常数,我们常常先设它们为未知数,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将已知的条件代入方程,求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容,是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数,前面三种分别可设y=kx,y=kx+b,的形式(其中k、b为待定系数,且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同,设

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