曲线的凹向、拐点与渐近线

《曲线的凹向、拐点与渐近线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、编§4.5曲线的凹向、拐点与渐近线curvilinearcavetowithturntoorderwithasymptote经济数学基础安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959三、小结思考题二、曲线的渐近线一、曲线的凹向与拐点微积分学§4.5曲线的凹向、拐点与渐近线一、曲线的凹向与拐点1.1、问题的提出1.2、曲线凹向的定义1.3、曲线凹向的判定1.4、曲线的拐点及其求法二、曲线的渐近线2.1、渐近线的定义1.5、有关拐点的若干话题2.2、分类作业：p1963(1,2,6);4(1,3)2.2、有关渐近线的

2、认识三、小结练习：p1951,23(3,4,5);4(2,4)同样是单调上升的曲线,但却有不同的弯曲方向,如何研究曲线的弯曲方向？曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切线的上方,称为上凹.1.1、问题的提出一、曲线的凹向与拐点曲线向下弯曲的弧段位于其上任一点处切线的下方,称为下凹.⑴定义4.31.2、曲线凹向的定义一、曲线的凹向与拐点若在某个区间内,曲线弧位于其上任一点的切线上方,则称曲线在该区间内是上凹的;若曲线弧位于其上任一点的切线下方,则称曲线在该区间内是下凹的.注:上凹简称凹,也称下凸;下凹简称凸,也称上凸.⑵图形分析结论:利用一阶导数符号来研究函

3、数的增减性;利用二阶导数的符号来研究函数的凹凸性.1.3、曲线凹向的判定一、曲线的凹向与拐点证明略。例1解定理4.10设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数,⑴若对"x∈(a,b),有f"(x)>0,则曲线y=f(x)在(a,b)内上凹;⑵若对"x∈(a,b),有f"(x)<0,则曲线y=f(x)在(a,b)内下凹.注意到:例2.求y=x4-2x2+3的凹向区间.解列表考察的符号一、曲线的凹向与拐点+-+上凹上凹下凹故下凹区间为,上凹区间为从左图可以看出：曲线上有两点为曲线从上凹转为下凹和从下凹转为上凹的分界点，由于在这些点处曲线拐弯，故称这种点为曲线

4、的拐点.一、曲线的凹向与拐点1.4、曲线的拐点及其求法⑴曲线的拐点:曲线上连接上凹与下凹的分界点.注①拐点处二阶导数f"(x)=0或f"(x)不存在;注②⑵求凹向区间,拐点的步骤：①写出函数的定义域D(y)；②求出使f"(x)=0的点和使f"(x)不存在的点；③由上述点划分定义域为若干区间,在各区间内,若f"(x)>0,则为上凹区间;f"(x)<0,则为下凹区间;④若上述各点是不同凹向区间分界点,则与该点对应的曲线上的点就是拐点;反之则不是拐点.一、曲线的凹向与拐点例3解凹的凸的凹的拐点拐点一、曲线的凹向与拐点例4解例5.求曲线的凹向区间及拐点.解：+—

5、上凹下凹故上凹区间：下凹区间：拐点一、曲线的凹向与拐点解列表考察一阶、二阶导数的符号例6求增减、凹向区间、极值与拐点.,x=1不可导点—+++—不可导—++故函数的单增区间为(0,2)，单减区间为上凹区间,下凹区间,极小值极大值，拐点一、曲线的凹向与拐点①若(a,f(a))为曲线y=f(x)的拐点,则其必在曲线上；②若y=f(x)二阶可导,且(a,f(a))为拐点,则必有;③的点称驻点，的点无名份,二者间切莫混.一、曲线的凹向与拐点1.5、有关拐点的若干话题若,函数单增若,函数单减增减区间凹向区间求或不存在的点求或不存在的点上述各点分定义域为若干区间,考

6、察各符号上述各点分定义域为若干区间,考察各符号若,曲线上凹若,曲线下凹④求增减区间与凹向区间方法比较一、曲线的凹向与拐点写出函数的定义域写出函数的定义域综上可知：增减凹向四步曲,率先当推定义域;求得界点列出表,考察符号全无敌.⑤极值点与拐点比较若的两侧异号为拐点若的两侧异号为函数极值点求或不存在的点求或不存在的点同左函数的定义域拐点极值点综上可知：一阶导数知升降，二阶导数晓凹向；极值拐点有区别，灵活运用细思量。一、曲线的凹向与拐点Back二、曲线的渐近线2.1、渐近线的定义若曲线y=f(x)上的动点P沿曲线无限远离坐标原点时，该点P与某条定直线L的距离趋

7、于零，则称该定直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.2.2、分类⑴水平渐近线例如有水平渐近线两条:注:设曲线y=f(x)的定义区间为无限区间，⑴若则曲线向左无限延伸时，以直线y=b1为其一条水平渐近线；⑵若则曲线向右无限延伸时，以直线y=b2为其一条水平渐近线；⑶若则曲线向左右无限延伸时，都以直线y=b为其水平渐近线.二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线例8.求的水平渐近线解:故曲线向左延伸以y=0为水平渐近线曲线向右延伸，以y=1为水平渐近线二、曲线的渐近线⑵铅垂渐近线如果函数y=f(x)在点x=a处间断，且则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线

8、x=a为铅垂渐近线.注意：①若x=a是函数的无穷间断点，必为曲线的铅垂渐近线；②