专题二：分数巧算

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1、专题二分数巧算知识要点一、定义下面这样的题目大家肯定遇到过吧。=，，这就是分数的分拆，分数的分拆指的是一个分数可以分拆成两个或两个以上分数的和或差，再运用某些运算定律或运算技巧，可以使一些用常规计算比较复杂的运算变得更为简便。二、重要规律1.运算定律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）乘法交换律：（4）乘法结合律：（5）乘法分配律：2.运算性质：（1）减法的性质：（2）除法的性质：①②典例评析例1计算分析：通过仔细观察可以发现，与1非常接近，可以把看成，这样就可运用乘法分配律进行简算；也可以发现和只差，所以也可以把看成是进行简算。解答：①②说明：从上

2、例可知，只要仔细观察题中的有关数据特点，将其中的一个或几个分数进行分拆，达到可以直接约分的目的，再运用乘法分配律等相关运算定律可以使计算简便。【变式训练1】计算：（1）（2）例2计算：分析：如果按带分数除法的计算方法进行计算，会十分麻烦。根据题目的特点，可以发现它的整数部分和分子相同。因此，把转化成后，运用乘法分配律变形为，这样就为下一步计算除法时的约分做了铺垫。解答：说明：计算本题时，我们可以运用除法的性质把分数变形后，再约分计算。变式训练2：试一试计算：例3请将写成几个分子为1的分数的和，如。分析：首先考虑分成2个分子为1的分数的和，我们不难知道：，那么

3、如何得到结果呢？我们可以采用扩缩的方法，，，而且和都是的因数，所以可约成分子为1的分数，，进一步分拆，，…，从分拆的过程来看各个分数的分母，它们之间存在着规律，在中，，在中，，在中，，……我们不难发现，把一个分数分拆成两个不同的分子为1的分数，只要把这个分数的分母加1作一个分数的分母，然后把得到的分母与原分数的分母的乘积作另一个分数的分母。解答：说明：从上例中可以看出，把分拆成两个分子为1的分数的和，只要把和作为两个分数的分母就可以了，即。当然，本题解法不唯一。变式训练3：例4你能把分拆成两个分数的差吗？分析：仔细观察分母，是一个等差数列，可以写成，发现符合

4、分拆方法3.解答：说明：从上例可看出，在解决本例时，我们可发现与例3的联系，如有，就有（注意），本例，也可以得到，相信我们的同学也已经从中发现了规律。变式训练4：请你把分拆成两个分数的差。例5计算分析：如果用通分的方法计算就太复杂了，仔细观察可以发现，每个加数的分子都是1，而分母是连续自然数，属于形，所以每个加数都可以拆成两个分数的差，如，，…，然后再相加，发现相邻分数相互抵消，很快就可以求出结果。解答：说明：从上例可知，在计算形如的分数的和时，可以把每个分数分拆成，使整个算式中出现若干个可以相互抵消的分数，巧妙地运用了分拆的方法。例6计算分析：根据题目的特

5、点，每一项的分子都是1，而分母是连续的奇数，我们同样也可以用分拆的方法来计算，先分拆，，，…再根据乘法分配律，提出公因数，先按照例5的样子计算，最后再乘。解答：说明：计算本题时，发现此题也可以用分拆的方法把形如（是奇数）分数分拆成。2013年3月19日晚上