1.4 协方差传播律

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1、1、几个名词误差测量误差(观测误差)相对误差真误差绝对误差方差中误差平均误差或然误差极限误差名词偶然误差随机误差精确度系统误差衡量精度的指标粗差精度准确度回顾2、一个事实不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。3、基本假设在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。4、统计规律在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；偶然误差的理论平均值为零。回

2、顾1.4协方差传播律现在提出这样几个问题：观测值函数的精度如何评定？观测值函数中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从观测值的中误差得到观测值函数中误差？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。1.4协方差传播律协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。1.4协方差传播律例如，在一个三角形中，观测了三内角　、、，其闭合差和将闭合差平均分配后所得的各角的最或然值、、分别为1.4协方差传播律1.4协方差传播律又例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s

3、和角度β。P点坐标为：内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4协方差传播律一、基本概念协方差2.相关3.协方差阵协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y,它们的协方差定义为：1.协方差由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。2.相关如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如

4、果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。2.相关在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度和方向等，都是独立观测值，而经过计算才得到的观测量就不是独立观测值或称为相关观测值。假定有个不同精度的相关观测值，数学期望和方差分别为和，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:，3.方差-协方差阵(1-20)为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。注意:矩阵中各元素的含义3.方差-协方差阵X独立时X独立同精度时设有观测值向量和，它们的数学期望分别为和。令：;则的方差阵为：3.方差-协方差阵是X关于Y的互协方差阵。即　　

5、与　　互为转置。当和的维数　（即、　都是一个观测值）时，互协方差阵就是关于　的协方差。若　　　　，则称　与　是相互独立的观测向量。3.方差-协方差阵内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4协方差传播律设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即又设有　的线性函数为：二、观测值线性函数的方差如何求Z的方差？协方差传播律二、观测值线性函数的方差则令：当向量中的各分量两两独立时二、观测值线性函数的方差的纯量形式：（中误差传播律）则：二、观测值线性函数的方差线性函数

6、的协方差传播律：设有函数：函数的协方差阵=函数的系数阵×自变量的协方差阵×系数阵的转置阵最后写成:例[1-2]在1：500的图上，量得两点间的距离d=23.4mm,d的测量中误差为=±0.2mm，求该两点实地距离及中误差。解：例[1-3]L1、L2、L3为独立观测值，已知其中误差，例[1-4]在测站A上，∠BAC=α，观测角β1和β2的中误差和它们的协方差分别为β1ABCxβ2α内容安排一、基本概念二、观测值线性函数的方差三、多个观测值线性函数的协方差阵四、非线性函数的协方差传播五、协方差传播律的应用1.4协方差传播律设有观测值向量三、多个观测值

7、线性函数的协方差阵令：现求Z的协方差阵？三、多个观测值线性函数的协方差阵若有t个X的线性函数：函数：函数的协方差阵：三、多个观测值线性函数的协方差阵推导过程：Z的协方差阵：协方差传播律设另有Ｘ的r个线性函数：三、多个观测值线性函数的协方差阵三、多个观测值线性函数的协方差阵已知协方差阵的变量的函数。协方差传播律技巧：将要求协方差阵的量表示成求：、、、、、、例:设有函数：的协方差阵，的协方差阵，关于的互协方差阵为，其中为常系数阵。且1．计算、、2．计算,（表示单位阵）4．计算3．计算5．计算或:解：例1-5:设在一个三角形中，同精度独立观测到三个内角

8、值、、，其中误差均为。试求将闭合差平均分配后的各角最或然值、、的协方差阵。（提示：把表示成的函数）应用协方差传播律得:内容安排一、基本概