闭区间上连续函数的性质(IV)

《闭区间上连续函数的性质(IV)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学高等数学A（1）第十一讲闭区间上连续函数的性质授课教师：彭亚新第三章函数的极限与连续性本章学习要求：理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。第三章函数的极限与连续性第三节闭区间上连续函数的性质一.最大值和最小值定理二.介值定理最大值和最小值定理设f(x)C([a,b]),则(i)f(x)在[a,b]上为以下四种单调函数时aObxyaObxyOabxyOabxyy=f(x)[a,b],y=f(x)[a

2、,b],此时,函数f(x)恰好在[a,b]的端点a和b处取到最大值和最小值.则则(ii)y=f(x)为一般的连续函数时xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O(最大值和最小值定理)若f(x)C([a,b]),则它在该闭区间上,至少取到它的最大值和最小值各一次.在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如,y=x在(1,3)内连续,但它不能取到它的最大值和最小值.定理若f(x)C([a,b]),则f(x)在[a,b]上有界.xyaa1a2a3a4a5a6bmamby=f(x)O看图就知道如何证明了.推论二.介值定理axyy=f(x)f(a)bf(

3、b)Of(x)C([a,b]),f(a)f(b)<0,f()＝0.先看一个图描述一下这个现象(根存在定理或零点定理)则至少存在一点(a,b),使得f()＝0.设f(x)C([a,b]),且f(a)f(b)<0,axyy=f(x)f(a)bf(b)O如何证明？定理1证明的思想方法—区间套法将区间[a,b]等分为[a,a1]和[a1,b],在这两个区间中,选择与[a,b]性质相同的一个,例如,若f(a1)f(b)<0,则选取区间如此下去,小区间的长度趋于零,并且[a1,b],然后,对[a1,b]进行等分,并进行选择,又得一个新的小区间.总保持函数区

4、间端点值反号的性质,由函数的连续性,这些小区间的左端点或右端点构成的数列的极限值,就是要求的(a,b).(介值定理)设f(x)C([a,b]),f(a)＝A,f(b)＝B,且AB,则对于A,B之间的任意一个数C,至少存在一点(a,b),使得f()=C.定理2令(x)=f(x)C故由根存在定理,至少存在一点(a,b)使则(x)C([a,b])C在A,B之间(a)(b)=(f(a)C)(f(b)C)=(AC)(BC)<0yBCAOabx证()=0,即f()=C.最大、最小值定理介值定理？引入设f(x)

5、C([a,b]),则f(x)取得值m之间的任何一个值.推论介于其在[a,b]上的最大值M和最小设f(x)C([a,b]),证明:至少存在一点[x1,xn],使得例1a

6、程x=asinx+b(a>0,b>0)设f(x)=xasinxb,x[0,a+b],则f(x)C([0,a+b]),而f(0)=0–asin0–b=–b<0,f(a+b)=(a+b)–asin(a+b)–b,=a(1sin(a+b))0,例3证1)如果f(a+b)＝0,则=a+b就是方程的根.即方程至少有一个不超过a+b的正根.定理,至少存在一个(0,a+b),使得f()=0.2)如果f(a+b)>0,则f(0)f(a+b)<0,由根存在综上所述,方程在(0,a+b]上至少有一个根,