对线性系统状态转移矩阵的讨论

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1、对线性系统状态转移矩阵的讨论张正强。等对线性系统状态转移矩阵的讨论DiscussiononStateTransitionMatrixofLinearSystems绳旅主华互亿建(曲阜师范大学电气信息与自动化学院，山东日照276826)摘要：状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用。分别对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统以及离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了研究。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。实践证明了结论的正确性。关键词：现代控制理论线性时变系统状态

2、转移矩阵离散时间常微分中图分类号：TP273文献标志码：AAbstract：Thestatetransitionmatrixisanimportantconceptinmodemcontroltheory。anditplaysacriticalroleinmotionanalysisforlinearcontrolsystems．Thestatetransitionmatrixesofcontinuoustimelineartimevaryingsystem，discretetimelinearconstantsystem。anddiscretetimelineartimevaryings

3、ystemarestudiedrespectively．Byusingtheuniquenessofsolutionsofordinarydiferentialequationanddifferenceequation，sufficientconditionforjudgingamatrixfunctiontobecomethestatetransitionmatrixofcertainlinearsystemisobtained；andCOITe—spondingsystemmatrixesareresolved．Thepracticeprovesthattheconclusionisc

4、orrect．Keywords：ModerncontroltheoryLineartimevaryingsystemStatetransitionmatrixDiscretetimeOrdinarydifferential0引言1预备知识状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性考虑连续时间线性时变系统、离散时间线性定常控制系统的运动分析中起着重要的作用。文献[1—8]系统和时变系统，它们的齐次状态方程分别为：对线性系统的状态转移矩阵(包括连续时间线性定常系戈：A(t)(t0)=0t≥t0(1)统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离(k+1)=Gx(k)散时间线性时变系统)进

5、行了详细而深入的介绍。值得(k0)=0(k=ko，k。+1，k0+2，⋯)(2)指出的是，以往的文献都是在系统矩阵已知的前提下，(k+1)=G(k)(k)讨论状态转移矩阵的性质、求解。然而，给定一个矩阵(k0)=o(k=k0，k0+1，k0+2，⋯)(3)函数，如何判断它是某一线性系统的状态转移矩阵，如式中：为n维状态；A(t)、G、G(k)为nxn系统矩阵。果是状态转移矩阵，如何求取其对应的系统矩阵，这是系统(1)～(3)的解分别为¨：我们必须解决的问题。(t)=(t，t0)通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性()=(k—k0)0=Gk-kox0时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会

6、在之前的工()=(k，k。)。作中给出。式中：(￡，t。)、(七一k。)、(k，k。)分别为系统(1)～(3)本文对连续时间线性时变系统、离散时间线性定的状态转移矩阵。对于离散定常系统，(k—k。)与初常系统、离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行始时刻无关，一般地，取=0，则(j}一ko)变为()。了进一步的研究。根据常微分方程和差分方程解的唯为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，需要用到下面的引理。引理1状态转移矩阵(t，t)是下列矩阵微分矩阵的充分条件，并求出了其对应的系统矩阵。方程初值问题的解，且解是唯一的口：曲阜师

7、范大学科研基金资助项目(编号：XJ0626)。(t，t0)=A(t)(t，t0)(to，t0)=It≥t0(4)修改稿收到日期：2008—12—09。引理2状态转移矩阵(k)是下列矩阵差分方第一作者张正强，男，1978年生，2003年毕业于曲阜师范大学自动化研究所．获硕士学位；主要从事非线性系统控制方面的研究。程初值问题的解：8PROCESSAUTOMATIONINSTRUMENTATIONVoL30No．9Septem