椭圆轨道相对动力学状态转移矩阵

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1、42中国空间科学技术2011年2月ChineseSpaceScienceandTechnology第1期椭圆轨道相对动力学状态转移矩阵岳晓奎苑云霞(西北工业大学航天学院，西安710072)摘要针对已有研究的不足，给出了更加便于理论分析和工程应用，并具有普遍适用性的状态转移矩阵的一种新形式。基于Lawden方程推导了以三维空间中位置一速度表示的状态转移矩阵元素的具体表达式，并将其由角域变换到时域，得到了表示真实位置速度的状态转移矩阵，通过初等变换可以从该矩阵得到任意需要的形式。仿真结果表明了状态转移矩阵的有效性，可将其用于任意偏心率椭圆轨道的三维轨道交会、轨道修

2、正、编队队形设计及控制问题。关键词状态转移矩阵时域交会相对动力学椭圆轨道编队飞行航天器DOI：10．3780／j．issn．1000一758X．2011．01．0061引言由于Tschauner-Hempel方程形式简洁，被广泛用于椭圆轨道交会问题。随着航天器编队研究的兴起，此方程又被用于编队的动力学建模。如果能够得到从初始状态到终止状态的变换矩阵，无疑对椭圆轨道各种相对运动问题的解决是非常有益的。Carter描述的相对运动状态转移矩阵对于工程应用并非简单实用[1]。Melton的方法虽然对轨道面和法向运动都适用，但对高偏心率的情况精度损失较大[2]。Yama

3、naka经过多步变量代换得到一种新的状态转移矩阵，其状态矢量没有确切的物理意义，因而不便于空间相对运动问题的工程应用口]。Gim和Alfriend利用几何法，通过相对状态和轨道要素导数之间的关系得到了考虑J。项摄动的状态转移矩阵_]，但其矩阵是基于曲线坐标系，并且矩阵形式相对复杂，这给工程应用带来了麻烦。Carter、Yamanaka和方茹等人的状态转移矩阵均未给出矩阵元素的具体形式[1’3t5]。综合分析，上述研究结果存在三大问题：一是没有给出状态转移矩阵元素的具体形式，不便于理论推导分析；二是因采用多种变量代换导致得到的状态转移矩阵不能表示真实的位置速度而

4、不便于工程应用；三是因选取的坐标系或状态矢量不同而不具有普遍适用性。本文首先基于Lawden方程推导了以三维空间中位置一速度表示的状态转移矩阵元素的具体形式。并将其由角域变换到时域，得到了可以表示真实位置速度的、更便于理论和工程应用的状态转移矩阵。通过初等变换可以从该矩阵得到任意需要的形式，从而使推导的矩阵具有了统一适用性。2椭圆轨道相对动力学模型文中使用了地心惯性坐标系和参考轨道坐标系。地心惯性坐标系ocX。EZe：原点在地球质心国家自然科学基金资助项目(10772145)收稿口期；2010—05—24．收修改稿日期：2010—08～23!!!!竺!旦主垦窒

5、旦登兰焦查!§Q，0。X。轴在赤道面内指向春分点方向，0。乙轴垂直于赤道面指向北极方向，o。y。轴由右手法则确定。轨道坐标系Oxyz：原点在目标质心0，Ox轴指向目标矢径方向，Oz轴指向轨道面的正法向，Oy轴由右手法则确定。设r和，．分别表示目标和跟踪器在地心惯性坐标系中的位置矢量，△，表示跟踪器相对于目标的位置矢量，不考虑摄动和控制力。根据牛顿第二定律得△oro=≯．一≯=等，一等，I(1)厂。r：式中卢是地球引力系数，卢=3．986005×1014ITl3／s2。利用绝对导数与相对导数关系式，得到在参考轨道坐标系中描述相对运动的非线性方程：O=一2I；O一

6、口00O一俨00一俨0O[

7、卜O一口0口00O[『

8、]+堋一一旧]㈤其中，口表示目标航天器的真近点角。利用关系式(：)=(·)7口，(：)=(·)”口2+口口7(·)7，△r《r时，对方程(2)线性化，即为Lawden方程。Carter和Humi推导出线性方程的解析解c卜"。z(口)=dl巧+2d2P2sH—d2ecipZ—d3cy(口)----dtp+2dzeHp+d3s(1+1／p)+d4／pz(口)=d5s／p+d6c／pz7(8)=dl贸+2d2已2cH+d2esip2+d3sY7(口)=一dl嚣+2d2e,：ip2—2dz矿sH+d3c(1+1／p)

9、+d3嚣2／，+d4ipzz7(8)一d5(e+c)ip2一d6s／pz(3)H一脚，=』：oc／p3dO----一(1me2)-}×[等_(1w)si肼号sin鼬sE‰](4)cosE=o+f)和(5)式中d。(f一1，2，⋯，6)都是积分常量IE是偏近点角，与口同象限；dH是从H(80)----0计算出来的积分常量。3状态转移矩阵的新形式3．1位置一速度形式记状态矢量和相应的常数矢量分别为x(口)=陆(口)，y(口)，2(口)，z7(口)，Y7(口)，27(口)]T，D_--(dl，d。，d。，d．，d5，de)T，状态矢量可表示为X(口)=口(曰)D。因

10、为基本解矩阵口(口)可逆，所以D=o(