2、字是0或5;3.被4整除的数:末两位组成的数被4整除;被25整除的数,末两位组成的数被25整除;4.被8整除的数:末三位组成的数被8整除;被125整除的数,末三位组成的数被125整除;5.被3整除的数:数字和被3整除;6.被9整除的数:数字和被9整除;7.被11整除的数:奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.例题求解【例1】一个自然数与13的和是5的倍数,与13的差是6的倍数,则满足条件的最小自然数是_________.(重庆市竞赛题)思路点拨略解:37【例2】有三个正整数a、b、c,其中a与b互质且b与c也互质,给出下面四个判断:①(a+c
3、)2不能被b整除;②a2+c2不能被b整除;③(a+b)2不能被c整除;④a2+b2不能被c整除,其中,不正确的判断有().A.4个B.3个C.2个D.1个(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨举例验证.解:选A提示:当a=3,b=5,c=2时,①③④都是假命题;当a=3,b=2,c=5,②是假命题.【例3】已知7位数是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.(第15届江苏省竞赛题)-8-思路点拨7位数能被8,9整除,运用整数能被8,9整除的性质求出x,y的值.解:提示:因为72│,所以8│,9│,由此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍
4、数,而0≤x+y≤18,则x+y=3或12,又必是8的倍数,必是4的倍数,则y=1,3,5,7或9,当y=1时,x=2,8│216;当y=3时,x=0,8不整除36;8│936;当y=5时,x=7,8不整除756;当y=7时,x=5,8│576;当y=9时,x=3,8不整除396,所以符合条件的7位数是1287216,1287576.【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数,且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,求证:4│(a+b+c+d).(2)已知两个三位数与的和+能被37整除,证明:六位也能被37整除.思路
5、点拨(1)x-a,x-b,x-c,x-d是互不相等的整数,且它们的乘积等于9,于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积;(2)因已知条件的数是三位数,故应设法把六位数用三位数的形式表示,以沟通已知与求证结论的联系.解:(1)略;(2)提示:abcdef=abc×1000+def=abc×999+(abc+def)【例５】(1)一个自然数N被10除余9,被9除余8,被8除余7,被7除余6,被6除余5,被5除余4,被3除余2,被2除余1,则N的最小值是_______.(北京市竞赛题)(2)若1059、1417、2312分别被自然数x除时,所得的余数都
6、是y,则x-y的值等于().A.15B.1C.164D.174(“五羊杯”竞赛题)(3)设N=,试问N被7除余几?并证明你的结论.(安徽省竞赛题)思路点拨运用余数公式,余数性质,化不整除问题为整除问题.(1)N+1能分别被2,3,4,5,6,7,8,9,10整除;(2)建立关于x,y的方程组,通过解方程组求解,(3)从考察11,111,…,111111被7除的余数入手.解:(1)N+1为2～10的公倍数,要使N最小,取N+1为它们的最小公倍数23×5×33×7=2520,故所求N的最小值为2520-1=2519.-8-(2)设已知三数被自然数x除
7、时,商数分别为a,b,c,则由此得x为358,859,1253的公约数,x=179,进而求得y=164.(3)111111=7×15873,而1990=6×331+4,故只须考察1111被7除的余数,1111=7×158+5,故N被7除余5.学力训练一、基础夯实1.如果五位数是3的倍数,那么a是________.2.如果从5,6,7,8,9这5个数中,选出4个组成一个四位数,使它能被3,5,7整除,那么这些数中最大的是_______.3.已知整数能被198整除,那么a=________,b=_______.(第17届江苏省竞赛题)4.在1,2,3
8、,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而且不能被5整除.(2000年“五羊杯”竞赛题)5.能整
