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1、38数学通讯2011年第3期(上半月)专论荟萃一个开放性问题的探究过程及其反思程坚(江苏省淮北中学泗洪县城建设南路32号,223900)引题(2009年浙江理7)设向量a,b满足:该答案很快被其他学生否定.
2、a
3、=3,
4、b
5、=4,ab=0.以a,b,a-b的模为学生三:答案:R(1,边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共3).他给出了如下的图形(图点个数最多为()1):当圆心是三角形的内切(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.圆圆心I时,对应的R是1;当分析当圆与三角形的两边相交时,
6、有4个圆心是点D时,对应的R是3.交点,本题新构造的三角形是三边为3,4,5的直角结合题意知R(1,3).图1三角形,其内切圆半径恰好为1.故它的边与半径这个答案出现后,大部分学生表示赞同.我对为1的圆的公共点个数最多为4个,选(B).学生的答案仍不予评价.继续提问:还有其它答此题讲评后,我意犹未尽,于是提出了下面的案吗?问题:注:在提出这个问题时,我认为的答案是R直角三角形的三边长为3,4,5,半径为R的圆(1,3),解答过程和学生三相同.继续提问,一方面与三边有6个交点,则R的取值范围是.是为了让学生充分暴露思维过程;另一方面,教学由于圆
7、的圆心不定,半径不断变化,而且又要经验告诉我,自己提出的问题,难免会考虑不周,与三角形的三边相交,因此难度较大.经过几分钟这一次又是如此.的思考、交流、讨论后,课堂逐渐热闹起来.经过梳又过了几分钟.理,我把学生的思维过程概括为如下的两个阶段.学生四:答案:R(1,一、感性阶段,思维螺旋上升25).他给出了如下的图形(图85学生一:答案:R(1,).理由:当圆心是三22):作BC的垂直平分线交矩角形的内切圆圆心I时,对应的R是1;当圆心是三形的边CD于点E,由ABC角形的外接圆圆心O时,对应的R是5,结合题意HCE得CE=CH,CE图22
8、BCAB525知R(1,).=.当圆心是三角形的内切圆圆心I时,对应的28此答案有一定的合理性,一部分学生表示认R是1;当圆心是点E时,对应的R是25.结合题意8同.我对学生一的答案不予评价.继续提问:还有25其它答案吗?知R(1,).8过了两分钟.继续提问:还有其它答案吗?学生二:答案:R(1,2)(2,5).理由:此时的学生很激动,也很困惑.2总结提问:根据学生一,圆的圆心可以在线段当圆心是三角形的内切圆圆心I时,对应的RIO上;根据学生三,圆的圆心可以在线段ID上;根(1,2);当圆心是三角形的外接圆圆心O时,对应据学生四,圆的圆
9、心可以在线段IE上,圆的圆心5的R(2,).结合题意知R(1,2)到底在什么范围内?圆的半径还可以继续增大吗?2注:这个问题是给学生的,也是给自己的.5(2,).二、理性阶段,思维渐趋严谨2专论荟萃数学通讯2011年第3期(上半月)39学生五:圆的圆心一定在矩形ABDC内.理由为了巩固这种方法,我灵机一动,又提出了如如下:如果圆和线段AC有两个交点,则圆心必在下的问题:正ABC的边长为a,半径为R的圆与两条平行线AB,CD所夹的区域内;如果圆和线段三边有6个交点,则R的取值范围是.AB有两个交点,则圆心
10、必在两条平行线AC,BD此时学生轻车熟路,很快画出圆心所在的区所夹的区域内;如果圆和线段CB有两个交点,则域是由三条抛物线弧围成的平面区域,如图4所圆心必在过B,C且和直线BC垂直的两条平行线33示,根据图形可得R(a,a).所夹的区域内,这三个区域的公共部分即为矩形63ABDC内.接着我又提出了如下的问题:通过此题的探我对学生五的回答给予肯定,因为该学生已究,你有哪些收获?经在理性地思考圆心所在的区域,为问题的根本下课的铃声响了,我们终止了讨论.我无法了解决做了铺垫.同时继续提问:圆心所在的区域能解学生会有怎样精彩的回答,真的很可惜.否进一步
11、缩小呢?教学反思:又过了几分钟.本节课在引题的基础上,通过提出问题,组织学生六:如图3所示,弧讨论,让学生完整地经历了问题的探究过程,体验线C1是以A为焦点,以BC为了成功的快乐,感受了数学的美.本节课如果满堂准线的抛物线,弧线C2是以C灌,把错误的答案教给学生,教学效果可想而知.为焦点,以AB为准线的抛物在上课时,不可满堂灌,要让学生充分暴露自己的线,弧线C3是以B为焦点,以思维过程,不断修正和完善自己的思维过程,让学AC为准线的抛物线.圆的圆图3生体验成功和失败的感受,经历完整的教学过程.心一定在三条线段和三条抛物线弧围成的封闭区学生六的解法
12、使我真正地认识到学生的智慧域内.结合图形,由抛物线的定义可知GB=GC,是无穷的,学生的智慧是教师成长的重要源泉.他点G在BC的垂直平分
