平行线开放性问题的探究.doc

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1、平行线开放性问题的探究　　开放性问题，格调清新，在解题过程中有较多的创造性，对考查同学们的创造能力、想象能力和探索能力有独特的作用．　　一、与平行线间的折线有关的开放题　　例1．如图1,AB∥CD，EO和FO交于点O．　　(1)试猜想∠1，∠2，∠3的大小关系，并说明理由．　　(2)如图2，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2，相交于点E，若∠1=300，则∠B=．　　(3)如图3,AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1，∠2n之间有什么关系?图1图2图3图4图5　　解：(1)∠2=∠1+∠3．　　

2、理由：如图4，　　过点0作MN∥AK　　由于AB∥CD．所以MN∥AB∥CD．所以∠1=∠EON，∠3=∠NOF．　　所以∠1+∠3=∠EON+∠NOF=∠EOF．即∠2=∠1+∠3．　　(2)由(1)中的结论有：∠B=∠MOB+∠BEN=∠MOB+∠1=900+300=1200．　　(3)∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．　　理由：如图5，作EF∥AB，则∠1=∠α．　　作GH∥EF,则∠θ=∠β．　　因为AB∥CD．所以CD∥GH．因此∠γ=∠4．　　所以∠1+∠θ+∠γ=∠α+∠β+∠4．　　即1

3、∠+∠3=∠2+∠4.　　因此∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n　　二、平行线问题的条件开放题　　即要得到某一结论，但还缺少条件，要求补充完整，往往所补充的条件不惟一的题．　　例2.如图6，已知：AB⊥BE于B，CD⊥DF于D，要使AB∥CD，还需补充什么条件?请你填上所需条件．　　解析：要使AB∥CD，只要使∠1=∠2，因AB⊥BE于B，从而∠l=900，故只需∠2=900；考虑到CD⊥DF于D，故∠3=900，从而∠2=∠3即可；又由∠2=∠3可知BE∥DF．图6　　故可在∠2=∠3，或BE∥DF中任

4、选一个条件即可．　　三、平行线问题的结论开放题　　即满足条件的结论未给出，且结论不惟一．　　例3.如图7，已知DE，BF分别平分∠ADC和∠ABC，∠ABF=∠AED，∠ADC=∠ABC，由此可得到图中哪些线段平行?并说明理由．　　解：DE∥BF，CD∥AB，AD∥BC．　　由∠AED=∠ABF易得DE∥BF　　由已知可知∠AED=∠ABF=∠ABC=∠ADC=∠EDC，故CD∥AB；图7　　由CD∥AB易得∠C+∠ABC=1800，又因为∠ABC=∠ADC，所以∠C+∠ADC=1800，故AD∥BC．　　例4．如图8，

5、AB∥CD，GM,HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线．　　(1)试判断GM和HN的位置关系；　　(2)如果GM是∠AGH的角平分线，(1)中的结论还成立吗?　　(3)如果GM是∠BGH的角平分线，(1)中的结论还成立吗?如果不成立，你能得到什么结论?图10　　解：(1)GM∥HN．　　理由：由AB∥CD，可得∠BGE=∠DHG．　　因为∠MGE=∠BGE，∠NHG=∠DHG，所以∠MGE=∠NHG．　　所以GM∥HN．　　(2)如图9，(1)中的结论仍然成立．　　理由：因为AB∥CD，所以∠AGH=∠DHG．图9　　

6、又因为∠MGH=∠AGH，∠NHG=∠DHG，　　所以∠MGH=∠NHG．　　因此GM∥HN．　　(3)如图10，(1)中的结论不成立．　　结论：GM⊥HN．　　理由：因为AB∥CD，所以∠BGH+∠DHG=1800．图10　　又因为∠HGM=∠BGH，∠GHN=∠DHG，　　所以∠HGM+∠GHN=900．　　所以∠GKH=900．即GM⊥HN．　　四、平行线问题的综合开放问题　　例5.如图11，已知∠1=∠2，BD平分∠ABC，可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行，则应将上述两个条件之一作如何改变?　　分

7、析：由BD平分∠ABC知∠1=∠DBC,又∠1=∠2，可知∠2=∠DBC，从而可知平行的两条线段了．若要另外的两直线平行，仍可仿上述条件作适当改动即可．　　解：由已知条件可得AD∥BC．理由：因为BD平分∠ABC，所以∠l=∠DBC．又因为∠l=∠2，故∠2=∠DBC．从而AD∥BC．　　若要AB∥DC，则只需∠1=∠BDC即可．而∠1=∠2，故应有∠2=∠BDC．这时可将“BD平分∠ABC”改为“DB平分∠ADC”即可．图11　　例6　如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所

8、得四个关系中任意选取一个加以说明.　　　　　　分析：这是一道几何探索题，它对培养同学们的学习兴趣，培养探索问题的思维和方法，能起到积极的引导作用.对初一刚学习几何的同学来说，本题只要充分应用平行线的性质及在小学学过的“三角形内角和等于180°”的性质就能顺利获解.这里过点P作AB的平行线，是在平行线问题中常用的一种添