一元三次函数的图像与性质

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1、利用导数研究一元三次函数图像与性质浙江省台州中学（317000）洪武定首先我们來回顾一下一元二次函数的图像及有关性质判别式△=b2-4acA>0A=0A<0二次函数y=ax^+bx+c(a>0)的图像»-V1//41■；0)的根有两相异实根无［,兀2（无1V兀2）有两相等实根b122a没有实根ax2+hx+c>0的解集{xxx2}{xX}2aRax1+Zzx+c<0(a>0)的解集{xx{0）,对其求导后可以转化为二次函数y1=3or2+2bx+c(a

2、>0).当A>0吋，对照上表可知当xw（yo,壬）,y1>0,当兀2），）『当^^（七，4"00）吋，y'>0o故函数y=ax34-/zr2--cx--d（a>0）在（-oo,^）区间上单调解，在（心冷）区间上单调增，在（勺,乜）区间上乂单调减。则三次函数图像如图（1）所示:当/(兀1)・/(兀2)<0时，方程+bx2+cx+d=0有三个根a、队丫。我们设ax'+加2+口+〃=0(兀一0)(兀一0)(无一了)把右边展开得：323。cix+fer+cr+〃=or-a©+0+y)xm(a0+0丫+ya)x-a・apY所以qbQ+〃+?=——a

3、达定理。aa0Y-a至此，对于不等式ax'^bx2+cx+d>0(a>0)(Kj解集易知为：｛xa/｝；不等式ax'+bx2+cx+d<0(a>0)的解集为：｛xx0对一切xw/?都成立，故函数y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上单调增。其图像如图(2)所示。方程o?+加2+cx+d二0也只有一个根。故不等式ax'+加2+cx+〃>0(a>0)的解集为｛xx>a],不等式ax'-^-bx1+cx+d<0(a>0)的解集为{xx

4、・已知y=cix3+bx2^cx^cl的函数图像如图（3）,则二填空）2.（2006年江西卷）己知函数f（x）=x'+ax~+bx+c在x=——与x=l时都取得极值3（1）求a、b的值与惭数f（x）的单调区间（2）若对xw（—1,2）,不等式f（x）V?恒成立，求c的取值范围。13.解：（1）/（x）=x3~/~ax2+bx+c,f（x）=3?+2ax+b2124由广（――）=———a+b=0‘f（1）=3+2a+b=0得3931a=——,b=—22r(x)=3x2—X—2=(3x+2)(x-1),函数/&丿的单调区间如下表:X(—CO,23(-21)31(1,+oo)r（X）+0—0

5、+f（X）T极大值I极小值T所以函数f（X）的递增区间是（-00,-

6、）与（1,+00）递减区间是(一2,1)3厲1c222(2)f(x)=x3——x2—2x+c,xg(—1,2),当x=——时，f(x)=——+c2327为极大值，而/(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。要使f(x)f(2)=2+c解得cv—1或c>2小结：对于三次函数的研究，我们主要借助于导数这个工具，把三次函数转化为我们熟悉的二次函数，结合二次函数的图像与性质来解决三次函数的有关问题.