专科高数教案

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1、《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x，y。对任意的x∈D，存在一定规律f，使得y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数。记作y=f(x)，x∈D。其中x叫自变量，y叫因变量。函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。例1：设f(x+1)=2x2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t2-t-2∴f(x)=2x2–x–2定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0②偶次根式被

2、开方数大于或等于0③对数的真数大于0例2求函数y=+arcsin的定义域.解：要使函数有定义，即有：于是，所求函数的定义域是：[-3，-2][3，4].例3判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx2与y=2lnx(2)ω=与y=解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数.（2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数.2.初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c为常数)幂函数：y=（为常数）指数函数：y=(a>0，a1，a为常数)对数函数：y=(a>0，a1，a为常数)三角函数：y=s

3、inxy=cosxy=tanxy=cotxy=secxy=cscx反三角函数：y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx（2）复合函数设其中，且的值全部或部分落在的定义域内，则称为的复合函数，而称为中间变量.例4：若y=，u=sinx，则其复合而成的函数为y=，要求u必须0，sinx0，x[2k，+2k]例5：分析下列复合函数的结构70（1）y=（2）y=解：（1）y=，u=cosv，v=（2）y=，u=sinv，v=，t=x+1例6：设f(x)=g(x)=求f[g(x)]g[f(x)]

4、解：f[g(x)]=f()=()=4g[f(x)]=g()=23.极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x无限接近于某个目标时（一个数x，或+或—），因变量y无限接近于一个确定的常数A，则称函数f(x)以A为极限。定理1函数当时的极限存在的充分必要条件是，当时的左右极限都存在并且相等.即例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴（当时）⑵（当时）解：⑴∵，∴函数在指定点的极限不存在。⑵∵，∴函数在指定点的极限=04.无穷小量与无穷大量极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若（或）,则称为当（或）时的无穷大量,简称无

5、穷大。例如：，所以，当x→0时，sinx是无穷小量。同样，当x→0时(>0)，1-cosx，arcsinx等都是无穷小量。当x→+∞时，，所以{}是无穷小量.无穷小量的性质：70（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量。（2）无穷小量与有界量之积是无穷小量。推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）5.极限的运算设在同一变化过程中（此处省略了自变量的变化趋势，下同）及都存在，则有下列运算法则：法则1、[f(x)g(x)]=f(x)g(x)法则2、[

6、f(x)g(x)]=f(x)g(x)法则3、=（g(x)0）(1)直接代入求值例8求(3x-4x+1)解：(3x-4x+1)=32-42+1=5例8求解：==-例10求解：===（2）型例11求解：==小结：时，型的极限，可用分子分母中x的最高次幂除之（3）-型，型，例12求下列函数极限701、（-）2、3、解：1、（-）====12、====3、==0（4）利用两个重要极限1=1特点：①它是“”型②（三角形代表同一变量）例13求解：==2注：1==0例14求解：==1例15求解：=[]=例16求70解：原式==[]

7、=[]=2（1+）=e特点：（１）(1+无穷小)，即1型；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，推广：①②例17（1+）解：原式=[]=例18（1+）解：原式=[（1+）（1+）]=（1+）（1+）=例19（1+）解：原式=（1+）=（5）利用常用的几个等价无穷小代换：当时，有～x；tanx～x；arcsinx～x；arctanx～x；cosx～；ln(1+x)～x；～x；～。例20求解：==例21求解：==70例22求解：==例23解：===注：1用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因

8、式进行替换）2分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。（6）利用函数的连续性定义1设y=f(x)在点的某邻域上有定义，如果自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即则称f(x)在点是连续的。定义2设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，若，则称函数f(x)在点处连续。定义3（间断点的分类）：设是的一个间断点，如果：（1）