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1、活页作业(十七)反证法閒1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为()A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,",c中至少有两个偶数或都是奇数C.ci,b,c都是奇数D.a,b,c•都是偶数解析：a,b,e恰有一个是偶数说明有且只有一个是偶数.其否定有d,b,c均为奇数或d,b,c至少有两个偶数.故选B.答案：B2.己知Gb是异面直线，直线C平行于直线那么C与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平彳亍直线D.不可能是相交直线解析：假设c///?,
2、而由c〃d,可得a//b,这与d,Z?异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.答案：C3.(1)已知才+『=2,求证p+qW2.用反证法证明时，可假设p+c&2.(2)已知g,bGR,
3、G
4、+
5、b
6、vl,求证方程jC+ctx+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根q的绝对值大于或等于1,即假设闪
7、21.以下结论正.确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确；(2)的假设错误D.(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p+g
8、>2;(2)的假设正确.答案：D4.命题“三角形屮最多只有一个内角是直角”的否定是.解析：“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三,角形中最少有两个内角是直角.答案：“三角形中最少有两个内角是直角”5.用反证法证明命题“若圧+尸=0,则a,b全为0@,b为实数)”，其反设为.解析："a,b全为0”即“a=0且b=0”,因此它的反设为dHO或bHO,即不全为0.答案：“d,b不全为0”6.设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直.证明：假设AC丄平面SOB,如
9、图，二•直线SO在平面SOB内，・・・S0丄AC.TSO丄底面圆0,・・・S0丄AB.・・・S0丄平面SAB.・・・平面SAB〃底面圆O.这显然与圆锥的定义矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直.饨力提升》7.设x,y,z都是正实数，g=x+£b=y+,c=z+£,则a,b,c三个数（）yzaJA.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2解析：若a,b,c都小于2,则a+b+c<6①，而a+b+c=x+~+y+~+z+丄26②，xyz显然①②矛盾，所以C正确.答案：CY.兀2—8
10、.已知兀i>0,七H1且g=：£_jS=l,2,…），试证：“数列｛心｝对任意的正整数〃都满足兀“〉心+
11、”，当此题用反证法否定结论时应为（）A.对任意的正整数弘有x/?=xw+lrB.存在正整数h，使兀严兀C.存在正整数弘使易2心+
12、D.存在正整数n,使解析：“任意”的反语是“存在一个”的反设词是“W”.答案：D9・若下列两个方程P+（g—1）兀+/=0,^+2ax~2a=0中至少有一个方•程有实根，则实数a的取值范围是.解析：若两方程均无实根，则/
13、=(4一1)2—4/=(3。一1)(一67—1)<0,•.a
14、<—或d>£.J2=(2a)2+Sa=4a(a+2)<0,r.*.—2<«<0,故一2Va<—1.若两个方程至少有一个方程有实根，则或aM—l.答案：aW—2或—110.已知d+b+c>0,ah-~bc+ca>0fabc>0,求证：a>0,b>0fc>0.证明：假设a<0,由abc>0得bc0,得b+c>—6f>0,于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc0矛盾，故a>0,同理可证方>0,c>0.11.设函数/(兀)在(一8,+8
15、)上是增函数，/?eR.(1)若a+b$O,是否有.心)+妙)冰一宀+人一叭?(2)若夬a)+")MA—a)+/(—b),是否有a+b^O?以上两结论若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由.解：⑴若a+bNO,则腳+弘)初一a)成立.证明：因，为a+b^O,所以ci2—b,b^—a.又/(兀)在(一8,+8)上是增函数，所以fU&fi—b),两式相加，得j{a)+/(Z?)—a)+/(—b).(2)若j{a)+fib)2代—t7)+/—/?),则a+bNO成立.证明：(反证法)假设d+bV(),则a<~byb<
16、—af而/(兀)在(一°°,+°°)上是增函数，所以胸勺_4,以上两式相加，得+J｛b)
