圣维南原理的概念和应用

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1、高等岩石力学第二讲：特殊边界处理与网格划分问题平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程（2-9）3.物理方程（平面应力问题）（2-15）4.边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边

2、界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用静力等效圣维南原理及其应用§2-8圣维南原理2021/10/3ZS为什么要用圣维南原理？如何应用圣维南原理？圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？圣维南原理中主矩是对那个点取矩？圣维南原理中边界的面力和应力的关系？什么是主要边界？什么是次要边界？为什么正应力对中心点取矩不为零？问题的提出：PPP求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、

3、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.、静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2.、圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/23.、圣维南原理

4、的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界例7课堂练习与讨论2021/10/3ZS例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注

5、意：必须按正向假设！xy上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。注意：必须按正向假设！由微元体的平衡求得，例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？——满足——满足——近似满足近似满足结论

6、：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：圆孔应力集中：应力集中程度§4-9圆孔的孔边应力集中2021/10/3ZSZS《RockMassMechanics》1.孔边应力集中概念由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力。称为孔边的应力集中。应力集中系数：与孔的形状有关，是局部现象；与孔的大小几乎无关。（圆孔为最小，其它形状较大）2.孔边应力集中问题的求解（1）问题：带有圆孔的无限大板（B>>a），圆孔半径为a，在无限远处受有均匀拉应力q作用

7、。求：孔边附近的应力。ZS《RockMassMechanics》（2）问题的求解问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。A取一半径为r=b(b>>a），在其上取一点A的应力：OxybAArA由应力转换公式：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。bZS《RockMassMechanics》新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（b）（c）baba问题2将外边界条件（a）分解为两部分：ZS《RockMassMechanics》问题1ba问题

8、1的解：内边界外边界（b）该问题为轴对称问题，其解为当b>>a时，有（d）ZS《RockMassMechanics》问题2的解：ba问题2（非轴对称问题）内边界外边界（c）由边界条件（c），可假设：为r的某一函数乘以；为r的某一函数乘以。又由极坐标下的应力分量表达式：可假设应力函数为：将其代入相容方程：ZS《RockMassMechanics》与前面类似，令：有该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：ZS《RockMassMechanics