第二讲：代数式的化简求值问题(部分含答案)

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1、第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容2—。2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般來说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3.求代数式的值可以让我们从屮体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1.若多项式2处2一兀2+5兀+8_（7兀$-3y+5x）的值与x无关，求m2—lm2-（5/n—4）+m］的值.分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零I大I力2/

2、??x2—%2+5x+8—（7兀$—3y+5兀）=（2加一+3y+8所以m=4将m=4代人，m2-lm2-（5/7?-4）+m=-m2+4/7?-4=-16+16-4=-4利用“整体思想”求代数式的值例2・x=-2时，代数式加+bx3+c兀-6的值为8,求当x二2时，代数式ax5+bx3+cx-6的值。分析：因为ax5+bx3+ex-6=8当x=・2日寸，一2。一2%—2。一6二8得至1」2。+2%+2。+6二一8,所以20+2诂+2c=-8-6=-14当x=2时，ax5+bx3+cx-6=25tz+23/?+2c-6=（-14）-6=-20例3・当代数式%2+3兀

3、+5的值为7时,求代数式3兀$+9兀-2的值.分析：观察两个代数式的系数曲/+3兀+5=7得*+3兀=2,利用方程同解原理，得3x2+9x=6整体代人，3兀2+9兀-2=4代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中Z-o例4・已知/+—1=0,求/+2/+2007的值.分析：解法一（整体代人）：由a2+a-=0得a3+a2-a=0所以：/+2/+2007=a"+ci~+d~+2007=a+/+2007解法二（降作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具冇降次的功能。=2008出/+d-1=0,i*导d2=1

4、-Q,所以：a34-2a24-2007=a2a+2a2+2007=（l-d）a+2/+2007=a-；+2/+2007=a+/+2007=1+2007=2008解法三（降次、消元）：/+。=1（消元、、减项）/+2/+2007"+/+/+2007=a（a2+^）+/+2007=d+/+2（）（）7=1+2007=2008例5・（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只冇工资待遇冇如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑,选择哪家公司冇利？分析：分别列出笫一年、

5、笫二年、笫n年的实际收入（元）第一年：A公司10000；B公司5000+5050=10050第二年:A公司10200；B公司5100+5150=10250第n年:A公司10000+200(“1)；B公司：[5000+100(“1)]+[5000+100(n・l)+50]=10050+200(n-l)曲上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。例6•三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=则ax3+bx2+CX+1的值是解：因为abc<0,所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数又因为a+b+c>0,所以a、b、c屮只冇一个是负数。

6、不妨设a<0,b>0,c>0则ab<0,ac<0,bc>0所以x=l+l+l亠1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为k同理，当b<0,c<0时，x=0o另：观察代数式交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。冇兴趣的同学可以在课下杳阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题:例7•如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,(1)“17”在射线上，“2008”在射线上.(2)若n为正整数，则射线0A上数字的排列规

7、律可以用含n的代数式表示为・°分析:OA.h排列的数为：1,7,13,19,・・・观察得出，这列数的后一项总比前一项多6,归纳得到，这列数可以表示为6n-5DE因为17=3X6-1,所以17在射线0E上。因为2008二334X6+4二335X6-2,所以2008在射线0Dh例8.将正奇数按下表排成5列:笫一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上而规律，2007应在A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第