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1、第五章二次曲线的一般理论§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐近线1、二次曲线的渐进方向二次曲线F(x,y)=al}x2+2即与+如)“+2a^x+2a23y+a33=0(1)x=x+Xt与直线(2))r+m当满足条件0(X,Y)=如X2+2al2XY+anY2=0(3)时或者只有一个交点或者没有交点或者直线⑵全部在二次曲线⑴上。⑴定义：满足条件e(^,y)=o的方向x：y叫做二次曲线⑴的渐进方向，否则叫做非渐进方向。⑵渐进方向的求法：XX①若。
2、]H0把(3)改写成a})(―)"+26/
3、2(—)+Q22=0X_-cin±^/6tl22-a]}a22_—al2±yj—l2Y=-yy若qIH
4、0把(3)改写成a22(—)〜+2d]2(—)+坷【=0XXY_-Cln-^11^22_一。12±J—，2°22Q”③若aA
5、=^22=0则一定有坷2HO这时(3)变为ZdfXy=0x：y=i：o或o：i0CL,°这时h==-aA2<0即0结论：当且仅当厶＞0时，二次曲线⑴无实渐进方向。因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。⑶二次曲线按渐进方向分类定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即i椭圆型曲线：厶＞0ii抛物型曲线：/2=0iii双曲型曲
6、线：12＜02、二次曲线的中心眩：具有非渐进方向的直线与二次曲线总交于两点，我们把这样两点决定的线段叫做二次曲线的弦。⑴定义仲心）：如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的屮点，因而C是二次曲线的对称中心，那么点C叫做二次曲线的中心。⑵点C（x,>；）是二次曲线⑴的中心的条件：点C（xo,yo）是二次曲线⑴的屮心二对任意过点C的弦x=x+Xt则点C是中点=>CM,+CM2=0设弦在直线方程为彳°上，则交--=+"点,M2对应的参数g&可由方程Q（X,Y"2+2[XF；（兀,必）+陌（心〉;）"+尸（兀,必）二0确定即顷二心玄顷二乙？其中7={x,y}=>G+/2）7=6=>q+f2=0=>好（
7、九,卯+笃（兀，x）=o艮卩f]X。+。[2乙+。13=°[。21*。+^22匕+。23=0逆推上去可知，满足上式的点C（九,兀）是二次曲线⑴的中心。定理5.2.1点C（x，3O是二次曲线⑴的中心，其充要条件是IFl（XoyY）=a[[X^a{2Y^a{3=0[杓（X。,匕）=砌X。+如匕+。23=°推论：坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程小不含兀y的一次项。⑶二次曲线按中心分类二次曲线小心由方程组耳(X,y)=Q[[X+如丫+坷3F2(X,Y)=a2]X+如丫+。23=0=0(5.2-1)决定如果厶=如工0上式有唯一解，二次曲线有唯一中心。°21°22如果人二H«21（5.2
8、-1）无解，无中心若a\—a2.1°22二坷彳无数多解，中心构成一条直线a23a\—。12工如ii线心曲线:a[{X+坷2丫+d]3=0或d2]X+如丫+。23=0这条直线叫中心直线。定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为中心二次曲线。按屮心分类I中心曲线厶=如"H0。21°22II非屮心曲线厶=如知=0即纟丄=生i无心曲线:3、二次曲线的渐进线1、定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。显然，椭圆型曲线只有两条虚渐近线而无实渐近线，双曲型曲线有两条
9、实渐近线，而抛物型曲线中的无心曲线无渐近线馅心曲线有一条渐近线就是它的中心曲线。定理5.2.2二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点或者整条直线在二次曲线上，成为二次曲线组成部分。X证明:设直线仁+丫严是二次曲线⑴的渐进线,这里（"）是二次曲线⑴的中心,x：r为渐近方向，那么斤(x°,Z)=o鬥(X°,Z)=0且e（x,y）=o渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程Q（X,Y）尸+2[网（兀*。）+迅（忑,y°）]r+F（兀*。）=0的根确定。当F（S）hO,渐近线⑵与二次曲线⑴没有交点，当F（X°，Z）=0时，渐近线⑵全部在二次曲线上，成为二次曲线的组成部分°作业：片931(1)，2(1),
10、4,6(1)§5、3二次曲线的切线1、定义5.3.1:如果直线/与二次曲线⑴交于重合两点或整条直线在二次曲线上则称直线/为二次曲线的切线。前者重合的交点叫做切点后者直线/上每点都是切点。I—I2、过二次曲线上点（兀,几）的直线/计-°⑵是二次曲线⑴的切线的充要条件/是y=y^Yt有重叠实交点ne（x,y）^ojD=ox百（x°,z）+%（x„z）=oL在二次曲线（1）上=>0（X,Y）=OX耳（X°，Z）+務（X»=0
