宁夏银川贺兰县第四中学高中数学选修2-2教案：第一章《导数及其应用》02导数的概念

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1、§1丄2导数的极念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其內涵;3.会求函数在早占的导数教学董点：瞬时速度「聶时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念.教学过程：一.创设情景(一)平均变化率(二)探究：计算运动员在05/5=这段时间里的平均速度，并思考以下问题:49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，/?(-烷—h⑼所以V=——蔓=°($/加)/49虽然运动员在0G5詈这段时间里的平均速度为0

2、(5/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态•二.新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况：山＜0时，在［2+山,2］这段时间内山＞0时，在［2,2+&］这段时间內卩一力(2)-方(2+&)4.9A?+13.1A/2—(2+&)—M『=Y.9&-13.1-A(2+A/)-A(2)一4.9△八13」加(2+A/)—2&*=Y9&-13.1当A/=-0.01W，A/=-13.05bg当Ar=001

3、时，A/=-13.05b“当A/=-0.001时，AZ=-13.0951,I当Ar=0001时，A/=-13.095bp当Az=-0.001时，Ar=-13.09951；o当A/=0001时，A/=-13.09951；a当Az=-0.0001时，A/=-13.099951,当Az=00001时，Ar=-13.099951；卩当A/=-0.00001时，A/=-13.099951；当Az=0.00001时，AZ=-13.099951?卩……应1思考：当△/趋近于0时，平均速度卩有什么样的变化趋势？结论：当d趋近于0时，即无论/从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度V都趋近于一个确

4、定的值-13」•从物理的角度看，时问

5、4

6、间隔无限变小时，半均速度7就无限趋近于史的瞬时速度,因此，运动员在r=2时的瞬时速度是-13.1m/5为了表述方便，我们用啊/?(2+△/)—力(2)=-13.1表示“当1=2,△/趋近于0时，平均速度「趋近于定值-13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬吋速度的精确值o2导数的概念从函数y寸（x）在ax。处的瞬时变化率是：血/（兀+心）-/（冷）二怙型心t°Ax心t（）Ar我们称它为函数y=/（x）在兀=兀。出的导数,记作f（如）或y即/（兀+心）_/（兀（））Ax说明：（1）导数即为函数

7、y=f（x）在x=x°处的瞬吋变化率(2)Ax=x-.x0,当山一>0时，xT%,所以/'(Xo)=lim~山TOx一X()一.典例分析例1・（1）求函数厂3x2在“1处的导数.分析：先求^f=^y=f（1+Ax）-/（1）=6Ax+（A再求塑二6+心再求lim塑二6Ar解：法一（略）山T（）心法二/Li=3%2-3-123(x2-I2)二lim■=limV=lim3(x+l)=6A—>1X—]x—>1X—

8、XT1（2）求函数/（x）=-x2+x在兀=一1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.解忧-(-1+3+(-1+心)-2Ax/(-I)-(-1+山沪+(_1+心)_2=lim(3—心)=

9、3心t()ArAr山—()例2・(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x/z吋，原油的温度(单位：°C)为/(兀)二兀2_7兀+15(05兀58),计算第2力时和第6力时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第2力时和第6/z时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f⑹根据导数定义，V=/(2+Ax)-/(x0)AxAr(2+Ay)~—7(2+Ax)+15—(2~—7x2+15)o==Ax一3Ax所以厂⑵=lim^=lim(Ax-3)=-3AxtO工Axt()同理可得：广(6)=5在第2/z时和第6/z时，原油温度的瞬时变化率分别为一3

10、和5,说明在2〃附近，原油温度大约以3°C/h的速率下降，在第6力附近，原油温度大约以5°C/h的速率上升.注：一般地，/'(兀)反映了原油温度在时刻如附近的变化情况.一.课堂练习1.质点运动规律为s=八+3,求质点在t=3的瞬时速度为.2.求曲线y=f(x)=x3在兀=1时的导数.3.例2屮，计算第弘时和第5力时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.二.回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念