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1、西安电子科技大学课程论文数学软件与实验最速下降法求最优解姓名：方正阳学号:07X7020班级：071171MATLAB结课大作业摘要：最速下降法，又称为梯度法，是一种重要的无约束最优化方法。它是1847年由著名数学家Cauchy给出的，其他解析方法或是它的变形，或是受它启发而得到，因此它是最优化方法的基础。该法将n维问题转化为一系列不断迭代过程中沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，本次程序设计利用最速下降法算法，反复迭代，最终收敛于局部最优点，即为解出的二元函数的无约束非线性规划问题minf（x,y）。引言：最优化理论作为运筹学屮的一个重要理论方法，在工业生产，金融经济活动，工商管理，
2、国防建设，计算机应用中，都有着重要的应用。最优化理论通过给出生产活动屮的各类实际问题的数学模型，通过最优化方法，寻求该问题的最优解或满意解。最速下降算法是最优化理论中常见的一个重要算法，理论证明：最速卜•降算法在一定条件下是收敛的，它能够有效地求解一部分无约束最优化问题。一、实验目的熟悉最速下降法算法思想和步骤，用MATLAB语言编程最速下降法求最优值。二、实验要求在最优化计算方法中，要求解）=几5花，…心）的局部最小值，可以采用如下的方法进行迭代计算：先给出初始点°=（£,兀爲…,兀°）”，然后X根据其梯度方向刃（x°），计算-元函数心噌X一2"x））,并I00得到x=x）。如此反复迭
3、代，最终收敛于局部最优点。实现该算法，求的最优值，a,b,c,d自定（非0）三、实验假设考虑到参数的随机性、代表性，验证程序的正确性、典型性，在此我们从两个角度出发，一是在abed值确定的情况下改变初始搜索位置x0,看函数最优解是否相同；二是初始搜索位置xO相同，abed值不同的情况下，看函数最优解是否相同。1.不妨令a,b,c,d分别为1,2,3,4,即心y）=（x-1『+3（y-2）2+3xy+4求其梯度函数（代码行间距已缩小）>>clear>>symsxy»f二inline('[(x-l)「2+3*(y-2)「2+3*x*y+4]','x','y')f二Iniinefunction
4、:f(x,y)=[(xT)j2+3*(y-2)•八2+3*x*y+4]»grad=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]grad=[2*x+3*y-2,3*x+6*y-12]1.令a,b,c,d分别为4,3,2,1,即=(x-4)2+3(y-3)2+2xy+1求其梯度函数(代码行间距已缩小)>>clear>>symsxy»f=inlineC[(x-4)「2+3*(y-3)・J+2*x*y+l]','x','y');»grad=[diff(f(x,y),x),diff(f(x,y),y)]grad=[2*x+2*y-8,2*x+6*y-18]四、程序设计1•无约束问
5、题的最优性条件原理1：设f:RJR1在点xgR”处可微。若存在peR”,使Vf(x)Tp<0,则向量P是/在点x处的下降方向。原理2：设f.RJR'在点化R”处可微。若/是无约束问题的局部最优解,则V/(/)=0,由数学分析中我们已经知道，使V/U)=0的点x为函数于的驻点或平稳点。函数/的一个驻点可以是极小点；也可以是极大点；甚至也可能既不是极小点也不是极大点，此时称它为函数/的鞍点。以上定理告诉我们，兀是无约束问题的的局部最优解的必要条件是：兀是其口标函数/的驻点。原S3：设f.RJR'在点xeRn处的Hesse矩阵¥窓)存在。若W>0,并且几/)正定，则F是无约束问题的严格局部最优
6、解。一般而言，无约束问题的口标函数的驻点不一定是无约束问题的最优解。但对于其目标函数是凸函数的无约束凸规划，下面定理证明了，它的目标函数的驻点就是它的整体最优解。原理4：设f.RJR',xeR",f是/?“上的可维凸函数。若冇V/U>0,则/是无约束问题的整体最优解。2•最速下降法算法思想①任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向；②将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题；③极值点导数性质知，该点梯度二0,终止条件也就是梯度尽可能逼近0,即当搜寻区间非常逼近极值点时，刃©)_00.心)》心)极值，・/(°)即为所求。3•最速下降法算法迭代步骤第1步选取初始点xO
7、,给定终止误差e<0,令k=0;第2步计算vf(xA),若HVf(xA)
8、
9、^e,停止迭代.输出否则进行第3步；第3步取搜索方向/7A=-Vf(xA):第4步进行一维搜索，求4，使得/(尤+tp)=min/(x+tp),ktkkkt^OX^=xk+tpkk二k+1,转至第2步；由以上计算步骤可知，最速下降法迭代终止时，求得的是目标函数驻点的一个近似点4.确定最优步长tk此时的/(xA-/V/(/))已成为步长t的一元函数，故町用任何
