专题六—线段最值问题之将军饮马问题

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1、辅导讲义学员编号：学员姓名：年级：初三辅导科目：数学课时数：3学科教师：爲T（同步知识主题）C（专题方法主题）T（学法与能力主题）授课日期时段线段最值问题一将军饮马问题唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.“诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短？B■A.河流这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得

2、其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？让我们翻译成数学语句：即在直线1上找一点P,使得PA+PB的值最小解析：第一步一一找到你要作轴对称的点（本题中点A和点B均可）第二步一一找到你要作关于哪条直线的刈称点（本题中只有一条直线，但是在复杂几何图中如何寻找到那条直线呢？我们来看要求的值，PA+PB,两条线段都有字母P,所以你就找P所在的直线）第三部一一作出轴对称图形（本题中是作A关于直线的对称点A0第四步一一连接，与直线的交点即为所要找的点P（本题中就是连接AW,这

3、一步虽然很简单，但是如果有的学生不按照这个顺序来，会直接以为AA，与直线交点即为点P）第五步一一计算（本步骤最难，本题中最短距离即为线段A，B的长度，千万不要再去连接AP,然后分别去计算AP和BP,那就是傻子了！）简单证明：因为轴对称的性质可知，AP二AP所以AP+BP二AT+BP二AP理由便是：两点之间直线最短（不要小瞧了这个证明，几乎80%的最值问题均涉及共线问题，也就是说思路都是将线段和问题转化到一直线上）例题1、如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P

4、，使PD+PE的和最小，则这个最小值为解析：让我们跟着上面讲的五步骤來做一下本题第一步一一找到你要作轴对称的点很明显，D、E均可第二步一一找到你要作关于哪条直线的对称点根据上面给的方法，是P所在直线，即为AC第三部一一作出轴对称图形虽然第一步说了D、E均可，但我们还是要去找最方便的点来作对称，这里明显为点D,因为正方形为轴对称图形，点D关于AC的对称点即为点B第四步一一连接，与直线的交点即为所要找的点P连接BE,与AC交点即为点P（有的学生会连接BD,然后把BD与AC的交点误以为是点P,明显是没有按照基本模型来）第五步一一计

5、算线段BE即为所求最小值，由于AABE为等边三角形，所以BE=AB,由于正方形面积为12,所以边长AB=2a/3,即PD+PE的最小值为2a/3（还要把DP连起来去计算DP+PE的我也是醉了）【课堂练习】1、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC±一动点，连接PB、PQ,则APBQ周长的最小值为cm•AkDQOC2、在菱形ABCD屮，对角线AC=6,BD=8,点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是•3、如图，在边长为2的等边Z^

6、ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为4、如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZB二60。，点D是BC边上的点，CD=1,将Z^ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则ZXPEB的周长的最小值是.5、如图，在锐角AABC中，AB=4,ZBAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB±的动点，则BM+MN的最小值是・6、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2,0),ZDOB二60。，点P是对角线OC上一个动点,E(0,-

7、1),当EP+BP最短时，点P的坐标为.【邮差送信问题】【练习】1、如图，点P是ZAOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线0A和射线0B上的动点，APMN周长的最小值是5cm,则ZAOB的度数是（D.40。Z0内有一定点A,在一边上找一点M,另一条边上找一点N,使得AAMN的周长最小？2、如图，ZAOB=30°,点M、N分别是射线OA、0B上的动点，0P平分ZAOB,且OP二6,则Z^MN的周长的最小值为.3、如图，在五边形ABCDE中，ZBAE=120°,ZB=ZE=90。，AB=BC=1,AE=DE=2,在B

8、C、DE±分别找一点M、N,使AAMN的周长最小，则ZAMN的最小周长为A4、如图，ZAOB=30°,点M、N分别在边OA、OB±,且0M=l,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA±,则MP+PQ+QN的最小值是5、如图，已知正比例函数『=1^(k>0)的图像与x轴相交所成的锐角为70。