西南大学2016年12月《中学代数》【0772】考试答案

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1、西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2016年12月课程名称【编号】：中学代数研究【0772】A卷大作业满分:100分对两个不同的点来说，长度比它们之间的距离还小的区间，不能同时包含它们。）我们把这个点叫做实数，如果不是有理点就称之为无理数。比如区间套：Zt■h■gnaia■（&3310-330«-■£■（0l33-%0l331包含的点是3。区间套人■（12）厶■6■•爲■（l.4t4U4t4®f包含的点是盪。2、实数的康托尔基本序列等价类定义如果我们任选出一组区间套的有理端点之

2、一组成一个有理数序列，会发现该数列具有这样的特点：用通俗的语言讲，该数列越往后，数与数Z间靠得越紧密。用数学语言讲，该数列为柯西基本数列：设数列满足条件：对于任意的.A。，总存在一个自然数N,只要W>N,就有£",则数列*」称为基本序列。两个基本序列和0J,对于任意的»>0，总存在一个自然数N,只要QN,就有h.讥"，则称这两个基本序列等价。因此，我们在有理数系中找到了某些集合（即基本序列），并且也找到等价关系，现在就可以给出康托尔“实数”的定义。定义：有理数的基本序列等价类称为实数3戴徳金分割戴德金分割）把全体有理数集合分

3、成两个集合A和/T,满足下列三个条件：1•请给出自然数（皮亚诺）公理。（15分）皮亚诺公理由两个形式符号1与,，5条公理组成：、1是自然数；2、每个自然数，都有一个后继；3、1不是任何自然数的后继；4、若因_，则毎二5、自然数的某个集合若含1,而J4如果含一个自然数就一定含，那么这个集合含全体自然数。这五条关于自然数的公理，组成了一个完整的公理体系，习惯上称为皮亚诺公理。2.请给出实数的三种不同定义。（15分）1、区间套原理让我们考虑数轴上的一系列区1'可，这些区1'可有如下特点：1、每个区间的端点为有理数；2、如果把这一系

4、列区间记为厶•坊』它们中的每一个包含在前面的区间内；3、当n增大时，第n个区间人的长度趋于零。这样的一系列区1'可称为一组区间套。定义（对于这样一组区间套，我们把下述事实作为一个基本的儿何公理：对应于每一组这样的区间套，在数轴上恰有一个点包含在所有这些区间中。（不难看出这样的点只有一个，因为区间的长度趋于零，而则例①易②这③这命可）集合A和招都是非空的（不空）>）每一个有理数在而且只在A和两个集合的一个之中（不漏）0集合A中的每一个数。都小于集合▲'中的每一个数/（不乱）张上述分法为戴德金分割，把集合A叫做分割的下集，集合启

5、叫上集，记为车A={aja

6、ti£I,岔"«d也是一个分割，且在上集4没有最小数，在下集4中没有最大数。题不存在这样的分割*,A中有最大数，上‘中有最小数。见，戴德金分割有三种不同情形：）A中有最大数，中没有最小数；2）才屮有最小数，4中没有最大数;3）A中没有最大数，丿'中也没有最小数。在前两种情

7、形下，我们说这个分割由有理数产生，或者说，这个分割定义了有理数尸，它是两个集合的有理:第三种情形下有理数端点不存在，分割不能定义任何有理数。现在需要引进一类新数——无理数。义（实数的戴徳金分割定义）有理数的戴徳金分割称为实数。数的康托尔基本序列等价类与戴徳金分割是等价的3.试证VI不是一个有理数（15分）假设75是有理数,那么它一定可以用一个最简的既约分数a/b表示,V5=a/b两边同时平方，得5=aA2/bA2得:aA2=5bA2,由此可见，a是5的倍数，于是设a=5k,则有（5k）人2二52225kA2=5bA2得:bA

8、2=5kA2,(n-2)(/?-3)(n-)(n-2)(n-1)(h-2)a、FCL.2132也就是说b也是5的倍数,6•请给出数系（自然数、有理数、实数、复数）的教学建议。（25分）综上，a、b都是5的倍数,那么a/b就不是最简分数了，与假设矛盾,因此,根号5不是有理数,必定是无理数。4•试画出以下不等式链的几何解释。（15分）2//1a+bIa2+b~—0,b>0）1丄12V2十ah

9、二维均值不等式的几何解释13中学代数研究“调和平均数”三“几何平均数”三“算术平均数”三“均方根数5.已知一数列的三

10、项分别是试给出该数列的通项表达式。（15分）:由拉格朗口插值公式得,(〃_2)S_3)

11、幺0_1)0_3)

12、Q(n-l)(/2-2)(1-2)(1-3)2(2-1)(2-3)3(3-1)(3-2)