向量空间、本征值和相似变换

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1、§4.5向量空间向量空间的定义设V为n维向量的集合如果集合V非空且集合V对于加法及乘数两种运算封闭那么就称集合V为向量空间所谓封闭是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算具体地说就是若aVbV则abV若aVR则aV上页下页铃结束返回首页向量空间基、维数设V为向量空间如果r个向量a1a2arV且满足(1)a1a2ar线性无关(2)V中任一向量都可由a1a2ar线性表示那么向量组a1a2ar就称为向量空间V的一个基r称为向量空间V

2、的维数并称V为r维向量空间如果向量空间V没有基那么V的维数为00维向量空间只含一个向量0若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是向量组的最大无关组向量空间V的维数就是向量组的秩下页向量的维数和向量空间的维数向量的坐标如果在向量空间V中取定一个基a1a2ar那么V中任一向量x可唯一地表示为x1a12a2rar数组12r称为向量x在基a1a2ar中的坐标在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1e2en为基则以向量x(x1x2

3、xn)T可表示为xx1e1x2e2xnen可见向量在基e1e2en中的坐标就是该向量的分量向量组e1e2en叫做Rn中的自然基下页从旧基到新基的过渡矩阵，以及坐标变换§5.1向量的内积、长度及正交性上页下页铃结束返回首页向量的内积设有n维向量x(x1x2xn)Ty(y1y2yn)T令[xy]x1y1x2y2xnyn[xy]称为向量x与y的内积性质：(1)[xy][yx](2)[xy][xy](3)[xyz][

4、xz][yz](4)当x0时[xx]0当x0时[xx]0(5)[xy]2[xx][yy]——施瓦茨不等式向量的长度令

5、

6、x

7、

8、称为n维向量x的长度(或范数)向量的长度的性质设xy为n维向量为实数则(1)非负性当x0时

9、

10、x

11、

12、0当x0时

13、

14、x

15、

16、0(2)齐次性

17、

18、x

19、

20、

21、

22、

23、

24、x

25、

26、(3)三角不等式

27、

28、xy

29、

30、

31、

32、x

33、

34、

35、

36、y

37、

38、>>>下页向量间的夹角称为n维向量x与y的夹角当x0y0时当[xy]0时称向量x与y正交显然若x

39、0则x与任何向量都正交定理1若n维向量a1a2ar是一组两两正交的非零向量则a1a2ar线性无关>>>下页规范正交基设n维向量e1e2er是向量空间V(VRn)的一个基如果e1e2er两两正交且都是单位向量则称e1e2er是V的一个规范正交基向量在规范正交基中的坐标若e1e2er是V的一个规范正交基那么V中任一向量a应能由e1e2er线性表示并且a[ae1]e1[ae2]e2[aer]er事实上设a

40、1e12e2rer则eiTaieiTeii即ieiTa[aei]下页施密特正交化方法设a1a2ar是向量空间V中的一个基取向量组容易验证b1b2br两两正交且b1b2br与a1a2ar等价把b1b2br单位化即得V的一个规范正交基下页正交阵如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT)那么称A为正交矩阵简称正交阵方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量且两两正交n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向

41、量空间Rn的一个规范正交基下页正交矩阵的性质(1)若A为正交阵则A1AT也是正交阵且

42、A

43、1(2)若A和B都是正交阵则AB也正交阵正交变换若P为正交矩阵则线性变换yPx称为正交变换设yPx为正交变换则有这说明经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变)这是正交变换的优良特性结束§5.2方阵的特征值与特征向量上页下页铃结束返回首页理论力学中，振动问题和稳定性问题常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题在量子力学中，特征值和特征向量有着特殊的含义。数学中诸如方阵的对角化及解微分方

44、程组的问题也都要用到特征值的理论特征值与特征向量设A是n阶矩阵如果数和n维非零向量x使关系式Axx成立那么这样的数称为方阵A的特征值非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量特征多项式与特征方程设A为n阶方阵则称的n次多项