高中数学23圆的方程234圆与圆的位置关系课堂探究新人教B版必修2

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1、2.3.4圆与圆的位置关系课堂探究探究一圆与圆位置关系的判断判断两圆的位置关系的方法有两种：(1)(儿何法)利用两圆圆心Z间的距离d与两圆的半径”口的关系判断：①外离od>ri+r2；②外切d=ri+r2；③相交O

2、ri—r2

3、

4、ri—r2

5、；⑤内含Od<丨门一cl.(兀_吗)2+0_勺)2=r21,(x-a2)2+(y-b2)2-r22(2)(代数法)两圆的位置关系，可利用两圆方程所构成的方程组的解判断，当方程组无解或JF+)，+£)』+£』+好=0,[x2+y2+Z)2x+y

6、+F?=0,时，两圆外离或内含；当方程组有唯一解时，两圆外切或内切；当方程组有两解时，两圆相交.【典型例题1】已知圆Ci：x'+y2—2x—3=0,C2：x'+y2—4x+2y+3=0.试判断两圆的位置关系，若有交点，求出交点坐标.解：变为标准方程：Ci：(X—l)2+y2=4,C2：(x—2)'+(y+l)'=2.圆心坐标分别为(1,0)和(2,—1),圆心距d=V2,半径分别为门=2,r2=V2.口―门=2—>/2,ri+r2=2+41,所以ri—r2

7、0,x~+_y2—4x+2y+3=0,故其交点坐标为(3,0),(1,—2).②探究二两圆的公切线问题求两圆的公切线时，耍先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数.【典型例题2】(1)圆G：x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有()A.2条B.3条C.4条D.0条解析：由x2+y2+4x—4y+7=0,得圆心和半径分别为01(—2,2),口=1；由x'+y2—4x—10y+13=0,得圆心和半径分别为。2(2,5),“=4.因为d(Oi,02)=5,ri+r2=5

8、,即ri4-r2=d(0i,O2),所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线.答案:B(2)判断圆G：x2+y2+2x-6y-26=0与圆G：/+『一4x+2y+4=0的公切线条数，并求公切线的方程.思路分析：首先判断两圆的位置关系，得出公切线的条数，再求公切线方程.解：将圆G化为标准方程：(x+l)2+(y—3尸=36,将圆C2化为标准方程：(x—2尸+@+1)2=1,得圆G的圆心坐标：C.(-l,3),半径n=6,圆C2的圆心坐标：G(2,-1),半径r2=l.所以

9、C1C21—J(-1-2)2+[

10、3-(-1)]—5.又

11、CiC2

12、=

13、ri—r2

14、=5,即两圆内切，所以圆G与圆C2有一条公切线.公切线的方程为x2+y2+2x—6y—26—(x2+y2—4x+2y+4)=0,即3x—4y—15=0.检验知直线3x-4y-15=0是两圆的公切线.探究三两圆的公共弦问题1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程：若圆Ci：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(Di-D2)x+(Ei-E2)y+Fi-F2=0.2.公共弦长的求法：(1)(

15、代数法)将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)(几何法)求出公共眩所在直线的方程，利用圆的半径、半眩长、眩心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【典型例题3]已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.思路分析：只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，才能求公共弦的长度.解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得G：(x-l)2+(y+5)2=50

16、,C2：(x+1)2+(y+l)2=10.则圆G的圆心为(1,-5),半径口=5近,圆C2的圆心为(一1,—1),半径r2=V10.又

17、CiC2

18、=2-^5,ri+r2=5V2+a/10,口一—VlO,所以ri—r2<

19、CiC2

20、

21、,片0,所以交点坐标为(一4,0)和(0,2).所以两圆的公共弦长为如=2逅.+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2j-8=0,方法二：两方程联立，得方程组两式相减得x—2y+4=0,即为两圆相交弦所在直线的方程.由x2+y2—2x+10y—24=0»得(x—I)2+(y+5)2=50,其圆心为C(l,—5),半径r=5^2.圆心C到直线x—2y+4=0的距离为d=卩_严(_5)+4

22、