古典概型和几何概型

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1、1.3等可能概型（古典概型）与几何概型一、古典概型的定义设随机实验E满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点（即只有有限个可能的结果），即S＝{e1,e2,…,en};2.等可能性：每个样本点（或结果）的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=…=P(en)。则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。设事件A中所含样本点个数为N(A)=k，以N(S)=n记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1)0P(A)1；(2)P(S)＝1；P()=0；(3)AB＝，则P(A∪B)＝P(A)＋

2、P(B)。二、古典概型中的概率：解设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩。S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}例1.6有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?例1.7在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，…，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,…,10)，则试验的样本空间为S={1,2,…,10}，

3、因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A={2,4,6,8,10}，所以A中含有k=5个样本点，故乘法原理设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法三、计算古典概率的方法：排列与组合加法原理设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列从含有n个

4、元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.nn-1n-2n-k+1组合从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.四、古典概型的基本类型举例古典概型的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。但可归纳为如下几种基本类型。1、抽球问题例1.8设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解设A——取到一红球一白球答:

5、取到一红一白的概率为3/5。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是例1.9某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率；解试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？所以，事件A发生的概率为(2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后

6、取出的球是白球的概率。解试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为种保留下来的取法，事件B所包含的基本事件总数为所以最后所取的球是白球的概率为注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽

7、取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。2、分球入盒问题解设A：每盒恰有一球，B：空一盒例1.10将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：例1.11设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n

8、≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：A={某指定的一个盒子中没有球}B={某指定的n个盒子中各有一个球}C={恰有n个盒子中各有一个球}D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)解把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的