第二讲 椭圆及其标准方程

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1、椭圆及其标准方程教学设计一、新课引入1、提问：（1）地球绕太阳旋转的轨迹可近似看成是什么图形？（椭圆）（2）列举一些椭圆的具体例子。2、演示：取一条一定长为的细绳，把它的两个端点固定在小黑板上的和两点（），用笔尖拉紧绳，使笔尖在小黑板上慢慢移动，画出一个椭圆。提问：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？二、新课讲解1、椭圆的定义平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。2、椭圆方程的推导：（1）由学生思考建立方案，经对比、归纳可得下列两种方案：方案一方案二（2）选定方

2、案一，推导过程：①建系：以和所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系；②设点：设是椭圆上任意一点，设，则，；③列式：由得；7①化简：移项后平方得，整理得，两边同时平方后整理得，由椭圆的定义知，，即，，令，其中，代入上式，得，两边除以，得：。说明：（1）思考：以上方程中的大小关系如何？。（2）方程叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在轴上，焦点坐标为的椭圆，其中。（3）若选择方案二建立坐标系，方程的形式又如何？（将式中的和互换位置可得，它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为），其中。（4）在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的

3、大小。例如椭圆当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。三、典型例题例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），焦点在轴上；（2）焦点在轴上。7练习1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（4，0）、（4，0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10。（2）两个焦点的坐标分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点。例2：（1）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为。（2）椭圆的焦距是，焦点坐标为，若为过左焦点的弦，为其右焦点，则的周长为。练习2：已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则＝。例3：点、是两个定

4、点，，且△的周长等于16，求顶点的轨迹方程。7练习3：△中三边长度、、成等差数列，若、两点的坐标分别为，，求顶点的轨迹。点评：利用椭圆的定义来动点轨迹方程，这种方法称之为定义法。使用定义法的关键是：充分分析图形的特点，熟悉各种曲线的定义，数形结合（注意结合图形，去掉不合题意的点）。例4：已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积是9，则=。练习4：椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则=；的大小为。7例5：一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。练习5：已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆的圆心的轨迹方程。7四

5、、巩固练习1、焦点坐标为、，的椭圆的标准方程为（）A．B.C.D.2、若方程表示的曲线是椭圆，则的取值范围是（）A.B.C.D.3、写出适合条件的椭圆的标准方程：（1）焦点为。（2）焦点为。（3）两个焦点分别是，且过点。74、求下列椭圆的焦点坐标：（1）（2）5、已知椭圆，焦点，是椭圆上的一点，且，求的面积。6、将圆的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。五、考考你1、方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A.B.C.D.2、椭圆过点，两个焦点为，则椭圆的方程为。7