2005年 上海高考数学试题及答案 (理科)

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2005年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工）一、填空题（本大题满分48分）1．函数的反函数=__________.2．方程的解是__________.3．直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.4．在的展开式中，的系数是15，则实数=__________.5．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.6．将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________.7．计算：=__________.8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________.（结果用分数表示）9．在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=__________.10．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________.11．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.12．用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵8 如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=__________.二、选择题（本大题满分16分）13．若函数，则该函数在上是（）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值14．已知集合，，则等于（）A．B．C．D．15．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在16．设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（）A．且B．且C．且D．且三、解答题（本大题满分86分）17．（本题满分12分）已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）8 18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，8 （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？21．（本题满分16分）（4+6+6=16分）对定义域是、的函数、，规定：函数.（1）若函数，，写出函数的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域；（3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函数，及一个的值，使得，并予以证明.8 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，．．．，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.8 数学（理）参考答案一、（第1题至第12题）1．2．x=03．x+2y－4=04．5．6．7．38．9．10．11．12．－1080二、（第13题至16题）13.A14.B15.B16.C三、（第17题至第22题）17．[解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在∴异而直线BC1与DC所成角的大小为[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0）所成的角为，则∴异面直线BC1与DC所成角的大小为18．[证明]原方程化简为设、，代入上述方程得8 将（2）代入（1），整理得无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是，由已知得由于（2）直线AP的方程是设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，于是椭圆上的点到点M的距离d有由于20．解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则令即∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．解（1）8 （2）当若其中等号当x=2时成立，若其中等号当x=0时成立，∴函数（3）[解法一]令则于是[解法二]令，则于是22．[解]（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以，（2）[解法一]的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当[解法二]设若当（3）由于，8