《最短路径问题》教学设计

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1、最短路径第二师华山中学初中数学组冯丽华2015/9/30《最短路径》教学设计一、内容和内容解析1、内容利用轴对称探究简单的最短路径问题。2、内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”及“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体，开展最短路径问题的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化“两点之间，线段最短”问题。基于以

2、上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。二、目标和目标解析1、目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。2、目标解析（1）学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；（3）能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求线段和最短；（4）在探索最短路径的过程中，

3、体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验明显不足，特别是面对实际背景的极值问题无从下手。对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求点。但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最短，一些学生感到茫然，找不到解决问题的方法。在证明最短时，需要在直线上任选一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线

4、段和学生想不到，不会用。教学时，教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”。在证明“最短”时，教师可告诉学生证明“最大”“最小”问题，常常要另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较证明。由于另取的点具有任意性，所以结论对于直线上的每一点（点C除外）都成立。本节课的教学难点是：利用轴对称将同侧线段和最短问题转化为异侧线段和最短问题，并能进行简单推理论证。四、教学支持条件分析在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利

5、用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt五、教学过程设计环节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到课题，回忆学过哪些最短路径问题？2.以上两个问题，我们称为“最短路径”问题。3、小试身手已知:如图,点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？AB两点之间，线段最短直线外一点与直线上各点所连线段中，垂线段最短。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探究新知1.提出问题【故事引入

6、】：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”。认真读题，仔细思考。二探究新知2.分析问题（1）.【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）．【度量】：请尝试找出符合条件的点C；分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC，记录在题目旁边。（3）.【展示

7、】：巡视发现学生不同的作法（尽可能多），投影，拍照。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。【展示】：学生展示并能简单说明思路。作法1：作法2：：作法3：学生主动探索，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。（4）.【追问】：上述几种方法中，哪一种作法中的点C能使得AC+BC较短？通过“度量”的数据得出结论。【小结】：发现第3种作法是较短的，第1种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等。第2种作法是利用“两点之间线段最短”，得到B

8、C最短，利用“垂线段最短”，得到AC最短，但不能确定AC+BC是最短的。二探究新知3.解决问题（1）【转化】用第3种作法的同学，你们是怎样找到的点C？（2）【比较】在以上几种方法中，利用轴对称找出的点C能使得AC+BC较短，但在直线l上有无数个点，也就有无数条路线，此时点C还