鸡兔同笼问题新解

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1、“鸡兔同笼”问题新解丹江口市余家营小学陈军“鸡兔同笼”是我国古代数学的经典趣题，1500年前的《孙子算经》就有记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”“鸡兔同笼”问题解法众多，常见的有列表法、画图法、假设法、抬（砍）腿法、方程法、公式法等。这里向大家介绍一种比较少见的解法——图解法：分析解决鸡兔同笼问题，要同时考虑头数与脚数两个量的变化，我们可以借助长方形，用长方形的长表示头数，用长方形的宽表示每只的脚数，用长方形的面积表示脚数，再用组合图形的面积表示总脚数。利用长方形面积组合图进行分析，形象直观、新颖别致，对发展学生思维，启发想象力很

2、有裨益。具体分析解答方法如下：AB表示每只鸡的脚数，那么AB=2，EF表示每只兔的脚数，那么EF=4，BC、CE分别表示鸡、兔的只数。那么，长方形ABCD的面积表示鸡的总脚数，长方形CEFG的面积表示兔的总脚数。故，长方形ABCD的面积+长方形CEFG的面积=94（只）。解法一：延长AD交EF与H。显然长方形ABEH的面积=BExAB=35x2=70（只）。那么，长方形DHFG的面积=94-70=24（只）。而HF=4-2=2（只）故，DH=24÷2=12（只）......兔的只数所以BC=35-12=23（只）......鸡的只数解法二：延长BA、FG交于H。

3、长方形BEFH的面积=BExEF=35x4=140（只）。那么，长方形ADGH的面积=140-94=46（只）。而DG=4-2=2（只）故，AD=46÷2=23（只）......鸡的只数所以CE=35-23=12（只）......兔的只数上面的解题过程比较正规，适合于中学生以及老师使用，为了便于小学生理解和使用，对1楼的解题过程进行了简化。解法一：长方形①的面积表示鸡的脚数，长方形②和③的面积表示兔的脚数。由题意可知长方形①+②+③的面积=94（只），而长方形①+②的面积=35×2=70（只）。故长方形③的面积=94-70=24（只）。因长方形③的宽=4-2=2

4、（只），所以，长方形③的长=24÷2=12（只），即兔有12只。解法二：长方形①的面积表示鸡的脚数，长方形②的面积表示兔的脚数。由题意可知长方形①+②的面积=94（只），而长方形①+②+③的面积=35×4=140（只）。故长方形③的面积=140-94=46（只）。因长方形③的宽=4-2=2（只），所以，长方形③的长=46÷2=23（只），即鸡有23只。“鸡兔同笼”问题新解——图解法之运用一鸡兔同笼问题图解法，数与形结合，利用长方形面积图进行分析，新颖别致，形象直观，对突破学生思维障碍，帮助学生理解题意大有裨益。下面以人教版六年级数学上册第七单元数学广角的一个练习

5、题进行分析。本题是知识抢答中的“鸡兔同笼”问题。如果用“假设法”解决，存在一个理解上的困难，那就是：答对一题与答错一题之间，要相差10＋6＝16分，而不是10－6＝4分。由于思维定势的影响，大多学生存在理解障碍。所以在教学中，可以针对这个理解上的难点，采用图解法来帮助学生理解，进而突破思维障碍。我们仅以第（1）小题为例进行分析。②号选手共抢答8题，最后得分64分，他答对了几题？解法一：用长方形①的面积表示答对所得总分，用长方形②的面积表示答错所扣总分。依题意可知长方形①-②的面积=64，即长方形①的面积=长方形②的面积+64。我们在等式的左右两边各加上长方形③的

6、面积，可得到长方形①+③的面积=长方形②+③的面积+64。而长方形①+③的面积=8×10=80，故长方形②+③的面积=80-64=16分，这个长方形的宽是10+6=16分，所以这个长方形的长=16÷16=1，即答错1题，那么答对8-1=7题。解法二：用长方形①的面积表示答对所得总分，用长方形②的面积表示答错所扣总分。依题意可知长方形①-②的面积=64，即长方形①的面积=长方形②的面积+64。我们在等式的左右两边各加上长方形③的面积，可得到长方形①+③的面积=长方形②+③的面积+64。而长方形②+③的面积=8×6=48，故长方形①+③的面积=48+64=112分，

7、这个长方形的宽是10+6=16，所以这个长方形的长=112÷16=7，即答对7题。“鸡兔同笼”问题新解——图解法之运用二对于有三种动物的“鸡兔同笼”问题，不断增加了动物的数量，也将研究的范围从“头”和“脚”扩大到“翅膀”，难度大大增加。这类问题常规的解答方法是假设法，但由于学生推理能力以及思维能力的局限，学生理解起来很困难。这个时候，我们可以采用“数形结合”的方法，借助长方形面积图进行讲解，形象而直观。下面，以学生常见的一道复杂的鸡兔同笼题为例，进行图解。蜘蛛有8条腿，没有翅膀；蜻蜒有6条腿，2对翅膀；蝉有6条腿、1对翅膀。现在有一些蜻蜒、蜘蛛和蝉，已知它们的总

8、数是18只，共有118条